北师大相似三角形练习题

1/8北师大版八年级下相似三角形复习练习一、【方法指导与教材延伸】1．在数学上，把具有形状的图形称为相似形。2．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做，简称。3.已知四条线段a、b、c、d，如果a∶b＝c∶d，那么a、b、c、d叫做组成比例的，线段a、d叫做比例，线段b、c叫做比例，线段d叫做a、b、c的。比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a和c的比例中项。4.比例的性质：a∶b＝c∶d；a∶b＝b∶c5．两个相似形的特征：对应边成比例，对应角相等；6．识别两个多边形是否相似的方法：如果两个多边形，那么这两个多边形相似7．相似三角形：定义：的三角形叫相似三角形。如△ABC与△A/B/C/相似，记作:。相似比：相似三角形的比叫相似比，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是。即相似比是有顺序的。8．相似三角形的识别方法：(1)定义法：的两个三角形相似。(2)平行线法：的直线和其它两边(或两边的延长线)，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)∵ED∥BC，∴△ABC∽△AED(3)的两个三角形相似。(4)的两个三角形相似。(5)的两个三角形相似。(6)对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。3．相似三角形的识别方法的选择：(1)已知有一角相等时，可选择方法和方法；(2)已知有二边对应成比例时，可选择方法和方法；ABCDEABCDE2/8(3)若有平行条件时，可考虑方法；(4)有直角三角形时，可考虑方法4.相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应的比、对应的比、对应角的比都等于相似比．(3)相似三角形的比等于相似比．以上各条可以概括为：相似三角形的对应之比等于相似比．(4)相似三角形面积之比等于．5．相似三角形性质的作用综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题：(1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等；(2)可用来计算周长、边长、角度等；(3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。注意：(1)求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段．(2)有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、是三角形面积公式：S＝21底×高，这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件，二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。3．直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点．如图，由Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC，得AC2＝AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·DB．熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．二、例题选讲例1：已知线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，问这四条线段成比例吗？说明：在线段求比时，线段的长度单位要统一；要同单位下，两线段的比值是无单位的正数。例2：已知，x:3=y:4=z:5,且3x＋4z－2y＝40，求x、y、z的值。ABCD3/8例题3：判断正误，并简要说出理由(1)两个矩形一定相似。；(2)两个菱形都有一个角是400，那么这两个菱形相似(3)两个正方形一定相似。例题4：如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，求矩形ABCD的面积说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定对应边、对应角，这里的AB是大矩形的宽，那么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。例题5：(1)、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似形三角形有对，分别是。(2)、如果AD＝5，DB＝3，FC＝2，则△ADE与△ABC的相似比是；如何求出BF的长？例题6：如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，EF∥AB，EM∥CD，求EFEMABCD的值。ABCDE图(1)FMFEDCBAABCDEF4/8例题8：如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，则图中有对相似三角形，当△∽△时，则有AFEFBFFD；要AC·CE＝CB·CD，则应找哪两个三角形相似？解：例题9：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，说明：BP2＝PE·PF。解：说明：当成比例的四条线段在同一直线上时，可用相等的线段代换的方法来分散开来，后再找相似三角形例10．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并将△ABC分成三块S1、S2、S3，若S1︰S2︰S3＝1︰4︰10，BC＝15，求DE、FG的长例11如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。(1)说明：△ABC∽△FCD(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长。三【同步练习】练习一一、判断题：1．所有的三角形都相似；2．所有的梯形都相似；ABCDEFABCDEFPABCDEFGS123SSFDCEABM5/83．所有的等腰三角形都相似；4．所有的直角三角形都相似；5．所有的矩形都相似；6．所有的平行四边形都相似；7．大小的中国地图相似；8．所有的正多边形都相似。二、填空：1．延长线段AB到C，使BC＝AB，则AC︰AB＝，AB︰BC＝，BC︰AC＝2．在比例尺为1︰500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25㎝，则两地的实际距离是。3．已知点P在线段AB上，且AP︰PB＝2︰5，则AB︰PB＝，AP︰AB＝4．如图，已知ADAEDBEC，AD＝15，AB＝40，AC＝28，则AE＝。5．已知：线段a＝3，b＝2，c＝4，则b、a、c的第四比例项d＝；则a、b、(a－b)的第四比例项是；3a、(2a－b)的比例中项是。6．已知：数3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个数是。7．已知：).0(,52dbdcba则dbca。8．已知356xyz，且3y＝2z＋6，则x＝、y＝。9．把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为。四、解答题：1．已知：3x－5y＝0，求：(1)xy；(2)xyy；(3)xyx2．已知：x︰y︰z＝2︰3︰4，求：32xyzxyz的值。ABCDE6/8练习二一、填空：1、如图(1)，在中，R在BC的延长线上，AR交BD于P，交CD于Q，若DQ∶CQ＝4∶3，则AP∶PR＝图(1)图(3)图(4)2、如图(2)，在梯形ABCD中，CD∥AB，AC、BD交于点O，过点O作AB的平行线交AD于点E，交BC于点F，则图中有对相似形三角形；若DC＝9，AB＝15，则OD∶OB＝，EF＝。3、如图(3)，在△ABC中，∠BAC＝900，CE平分∠ACB，AD⊥BC，垂足为D，AD、CE相交于点F，则△AFC∽△。4、如图(4)，要使△AEF∽△ABC，已具备的条件是，还需补充的条件是或或。5、如图(5)，点D是△ABC内一点，连结BD并延长到E，连结AD、AE，若∠BAD＝200，ABBCACADDEAE，则∠EAC＝图(5)图(6)6、在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，则有AD2＝，ED2＝，BD2＝。若DF⊥AC，则还有线段是比例中项。二、解答题：1、如图(1)，在中，对角线AC、BD相交于点O，BC＝18，E为OD的中点，连结CE并延长交AD于点F，求DF的长。FOABCDE图(2)QRPDCBAABCDABCDEFABCEFABDCEABCDEFABCDOFEDCBA7/82、如图(3)，在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO∶OE的值。3、如图，AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠C，试说明△BCE∽△EBD。4、如图，已知ABACBCADAEDE，试说明：AB·EC＝AC·BD。5、如图，D是△ABC内一点，在△ABC外取一点E，使∠CBE＝∠BAD，试说明△ABC∽△DBE6、如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，AD＝2，试在AB上求一点E，使△ADE和△ABC相似，并求出AE的长。7、如右图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有个8、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，①当AC、CD、BD满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？②当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。ABCDEFOABDCE12ABDCEABDCEABCDPABCDPABDC8/8练习三一、填空：1．如果两个相似三角形对应高的比为4:5，那么它们的面积比为2．把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为原来的100倍，则边长扩大为原来的倍。3．如果两个相似三角形的面积比为8，周长比为k，那么k2＝。4．在△ABC中，DE∥BC，21ABAD，且S△ABC＝8cm2，那么S△ADE＝cm25．如图(2)，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为。6．如图(3)，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与四边形DECB的面积之比为。7．如图(4)，DE∥FG∥BC，且S△ADE＝S梯形DFGE＝S梯形FBCG，则DE:FG＝。8．如图(5)，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB＝1:9，则S△DOC:S△BOC＝二、解答：1、在△ABC中，∠C＝900，BC＝8㎝，AC︰AC＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2㎝/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：⑴经过多少秒△CPQ∽△CBA？⑵经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似ABCDMN图(2)ABCDE图(3)ABCDEF图(4)GABCD图(5)OABCPQ