解直角三角形知识点

一、直角三角形的性质：1、两个锐角互余∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵∠ACB=90°D为AB的中点∴CD=21AB=BD=AD4、勾股定理：222cba：222abc还可以变形为222acb，222bca．5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD⊥AB∴BDADCD2ABADAC2ABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义：在RTABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则：sinAaAc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边tanAaAAb的对边的邻边cotAbAAa的邻边的对边常用变形：sinacA；sinacA等，由同学们自行归纳2、锐角三角函数的有关性质：（1）当0°∠A90°时，0sin1A；0cos1A；tan0A；cot0A（2）在0°90°之间，正弦、正切（sin、tan）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos、cot）的值，随角度的增大而减小。3、同角三角函数的关系：ACBD22sincos1AAtancot1AAsintancosAAAcoscotsinAAA常用变形：2sin1cosAA2cos1sinAA（用定义证明，易得，同学自行完成）4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图1，由定义可得：sincoscos(90)aABAc同理可得：sincos(90)AAcossin(90)AAtancot(90)AAcottan(90)AA5、特殊角的三角函数值：三角函数0°30°45°60°90°sincostan-cot-二、有关三角函数计算（计算器、特殊角）三、解直角三角形已知的一些边、角求另一些边、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab，tanaAb，90BA直角边a，斜边c22bca，sinaAc，90BA一边一锐角直角边a，锐角A90BA，cotbaA，sinacA斜边c，锐角A90BA，sinacA，cosbcA例1：①在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是△ABC的三边,a=6,∠B=30°求∠A,b,c.②在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是∠A,∠B,∠C的对边,a=5,b=35,求c,∠A,∠B.60°30°321BCA45°222BCA例2:①在RtΔABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是三边,且83ctgA,a=6.求c.②在RtΔABC中,∠C=Rt∠,∠B=30°,a-b=2.求c.③在RtΔABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=326.求SΔABC及ΔABC的周长.④在RtΔABC中,∠C=Rt∠,58AC,∠A的平分线AD的长是31516解直角三角形.⑤在RtΔABC中,∠C=90°,310AB,53cosABC.D是AC上一点∠DBC=30°.求BC,AD.2、解直角三角形的实际运用(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。(3)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。(4)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。有关公式（1）1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB:ihlhlα（2）Rt△面积公式：1122Sabch（3）结论：直角三角形斜边上的高abhc（4）测底部不可到达物体的高度．如右图，在Rt△ABP中，BP=xcotα在Rt△AQB中，BQ=xcotβBQ—BP=a，即xcotβ-xcotα=a．解直角三角形的知识的应用，可以解决：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题3、三角形的面积公式：已知ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，如图2，过点A作AD⊥BC于点D。在RTABD中，sinADBAB，即：sinADABB（sinADcB）111sinsin222ABCSBCADacBacB（其中：∠B为a、c的夹角）同理可得：111sinsinsin222ABCSacBbcAabC（三角形的面积公式）由面积公式可得：11sinsin22acBbcA两边同时除于12c得：sinsinsinsinabaBbAAB同理可得，正弦公式：sinsinsinabcABC余弦定理如图2：sinADbC，cosBDBCCDabC，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：222222(sin)(cos)ABADBDcbCabC整理得：2222222222sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCbCCaabC2222coscbaabC整理得到余弦定理：2222coscababC（∠C为a、b的夹角）ABPQxαβaDABC同理可得：（余弦定理及其变形）2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222coscababC222cos2abcCab四、三角函数与相似：如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：3.2cos610ADABxxAAEACsinDEBCAAEAC如图6，6tan48DEBCxAAEAB备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些五、三角函数与一次函数设一次函数ykxb经过点11(,)Axy与22(,)Bxy那么我们可以列出方程组：1122ykxbykxb则可以得到：2121yykxx如下图所示：tankααy2-y1x2-x1y2y1x2x1B(x2,y2)A(x1,y1)O