用LINGO求解线性规划的例子

附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？数学模型：设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2目标函数：设每天获利为z元。x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4*x2公斤A2，获利16*4x2，故z=72x1+64x2约束条件：原料供应：生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即x1+x2≤50劳动时间：生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即12x1+8x2≤480设备能力：A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即3x1≤100非负约束：x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0综上所述可得maxz=72x1+64x2s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1≥0，x2≥0显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划（LP），求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性（或灵敏度）分析。LINGO求解线性规划用LINGO求解线性规划时，首先在LINGO软件的模型窗口输入一个LP模型，模型以MAX或MIN开始，按线性规划问题的自然形式输入（见下面例子所示）。以下解加工奶制品的生产计划问题：由于LINGO中已假设所有的变量都是非负的，所以非负约束条件不必输入；LINGO也不区分变量中的大小写字符（实际上任何小写字符将被转换为大写字符）；约束条件中的“〈=”及“〉=”可用“〈”及“〉”代替。在LINGO模型窗口输入如下：max=72*x1+64*x2;x1+x2=50;12*x1+8*x2=480;3*x1=100;用鼠标单击菜单中的求解命令（Solve）就可以得到解答，结果窗口显示如下：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2计算结果表明：“LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2”表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解。“OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000”表示最优目标值为3360.000（LINGO中将目标函数自动看作第1行，从第二行开始才是真正的约束条件）。“VALUE”给出最优解中各变量（VARIABLE）的值：x1=20.000000，x2=30.000000。“REDUCEDCOST”的含义是（对MAX型问题）：基变量的REDUCEDCOST值为0，对于非基变量，相应的REDUCEDCOST值表示当非基变量增加一个单位时（其它非基变量保持不变）目标函数减少的量。本例中两个变量都是基变量。“SLACKORSURPLUS”给出松弛（或剩余）变量的值，表示约束是否取等式约束；第2、第3行松弛变量均为0，说明对于最优解而言，两个约束均取等式约束；第4行松弛变量为40.000000，说明对于最优解而言，这个约束取不等式约束。“DUALPRICES”给出约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第2、第3、第4行（约束）对应的影子价格分别48.000000，2.000000，0.000000。“NO.ITERATIONS=2”表示用单纯形法进行了两次迭代（旋转）。灵敏度分析，则LINGO还会输出以下结果：RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000以上显示的是当前最优基（矩阵）保持不变的充分条件（RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED），包括目标函数中决策变量应的系数的变化范围（OBJCOEFFICIENTRANGES）和约束的右端项的变化范围（RIGHTHANDSIDERANGES）两部分。前一部分的输出行X172.00000024.0000008.000000表示决策变量X1当前在目标函数中对应的系数为72，允许增加24和减少8。也就是说，当该系数在区间[64，96]上变化时（假设其它条件均不变），当前最优基矩阵保持不变。对X2对应的输出行也可以类似地解释。由于此时约束没有任何改变，所以最优基矩阵保持不变意味着最优解不变（当然，由于目标函数中的系数发生变化，最优值还是会变的）。后一部分的输出行250.00000010.0000006.666667表示约束2当前右端项为50，允许增加10和减少6.666667。也就是说，当该系数在区间[43.333333，60]上变化时（假设其它条件均不变），当前最优基矩阵保持不变。对约束3、约束4对应的输出行也可以类似地解释。由于此时约束已经改变，虽然最优基矩阵保持不变，最优解和最优值还是会变的。但是，由于最优基矩阵保持不变，所以前面的“DUALPRICES”给出的约束的影子价格此时仍然是有效的。用LINGO求解加工奶制品的生产计划，结果如下：20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。1）35元可买到1桶牛奶，要买吗？由于原料的影子价格为48，3548,应该买！2）聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？由于工时的影子价格为2，聘用临时工人付出的工资最多每小时2元3）A1获利增加到30元/千克，应否改变生产计划由于要使最优解保持不变，X1系数的允许变化范围为[64，96]。x1系数由24*3=72增加为30*3=90，在允许范围内。所以不改变生产计划。