第1章-线性空间与线性映射

第1章线性空间与线性映射本章将介绍两个内容，线性空间与线性映射，它们是矩阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念．线性空间是线性代数中向量空间概念的推广，而线性映射是研究线性空间之间关系的主要工具.线性映射又与矩阵相对应，因此研究线性映射的问题又可转化为研究矩阵的相关关系.1.1线性空间在线性代数中，我们把n元有序数组称为n维向量，并对n维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下满足八条基本的运算规律，称为n维向量空间．事实上，我们不难发现，还有许多集合，比如n阶方阵的全体，关于矩阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律．这里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一个共同点，就是在非空集合与数域P上定义了两种运算，且这两种运算满足八条性质．将此抽象可给出线性空间的概念．1.1.1线性空间的概念定义1.1.1设V是一个非空集合，P为数域．如果对于V中任意两个元素，，在V中总有唯一的元素与它们对应，称为与之和，记作．对P中任一数a与V中任一元素，在V中总有唯一的元素与它们对应，称为a与的数乘，记作a．如果加法与数乘两种运算满足下面八条运算规律（设,,,,VabP）：（1）；（2）)()(；（3）在V中存在元素0，使对任何V，都有0，称0为零元素；（4）对任何V，都有元素V，使0，称为的负元素，记为-；（5）1；（6）()()abab；（7）()abab；（8）()aaa，则称V为数域P上的线性空间（或向量空间），有时也简称V为线性空间（或向量空间）．线性空间V中元素也称为向量．当P为实数域R，或复数域C时，分别称V为实线性空间，或复线性空间．简言之，定义了加法、数乘运算，且满足上述八条运算规律的非空集合称为线性空间．通常，凡满足上述八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算．线性空间就是定义了线性运算的非空集合．例1.1.1实数域R按照实数间的加法与乘法，构成一个自身上的线性空间，仍记为R．下面看一些例子．例1.1.2分量属于数域P的全体n元数组12(,,,)Tnxxx按照通常的加法与数与n元数组的乘法，构成P上的一个线性空间，记作nP．当P=C时，nP称为n元复线性空间，记作nC；当P=R时，nP称为n元实线性空间，记作nR．例1.1.3在实数域上，次数不超过n的多项式的全体},,,{][010111RaaaaxaxaxaxPnnnnnnn对于通常的多项式加法，数与多项式的乘法构成线性空间．注意在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而得到不同的线性空间．例1.1.4在实数域上，nm矩阵全体nmR按照通常矩阵的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.例1.1.5在实数域上，次数等于n的多项式全体，在多项式加法，数与多项式的乘法运算下，由于运算不封闭，从而不构成线性空间.例1.1.6给定nmCA，记nnCxAxxANCxAxyyAR,0)(,,)(，按mC与nC中的加法和数乘运算，)(),(ANAR都是C上的线性空间．证明首先证明()RA关于mC中的加法和数乘运算封闭．设),(,21ARyy则存在,,21nCxx使得1122,yAxyAx．因为nC是线性空间，所以12,nxxC从而12()()AxxRA．又因为121212()AxxAxAxyy，所以12()yyRA．同理，设kC，所以1nkxC，从而ARkxA1，又因为111()AkxkAxky，所以1()kyRA．以下验证八条性质成立．（1）121212212121)()(yyAxAxxxAxxAAxAxyy；（2）)()()()(321321321321yyyAxAxAxAxAxAxyyy；（3）因为0nC，所以00()ARA；（4）设1nxC，所以1nxC，故11110()()()AxAxAxxRA；（5)设21212121)()(,ayayaAxaAxAxAxayyaCa；（6）设111111)()(,,byaybAxaAxAxbaybaCba；（7）)()()()(1111byabAxaAxabyab；（8）111111yAxAxy．综上所述，)(AR为C上的线性空间．同理可证明)(AN也是C上的线性空间．例1.1.7仅由C上线性空间V中的零元素0构成的单元素集合V000，按V中的运算定义运算，则0是C上的一个线性空间，这个空间叫做零空间．例1.1.8问当0时，相容的线性方程组Ax的解的全体,nSxAxxC是否构成线性空间？解对于任意的12,xxS，有1Ax，2Ax．但是1212()2AxxAxAx，所以Sxx21，即S关于加法运算不封闭，故S不是线性空间．例1.1.9设nnba,是两个收敛于0的实数无穷序列，定义加法运算为nnnnabab，数乘运算为,nnkakakR，则收敛于0的实数无穷序列构成的集合在上述加法和数乘运算下为线性空间.练习P2例1.1.10证明：0limlim)(limnnnnnnnbaba；且,Ra有0limlimnnnnaaaa；并且易证八条性质也成立．所以，一切收敛于0的实序列对于如上定义的加法和数与序列的乘法构成R上的一个线性空间．对于线性空间中零元素与负元素有如下性质．性质1.1.1线性空间中零元素是唯一的．性质1.1.2线性空间中任一元素的负元素是唯一的．1.1.2线性空间的性质证明设10，20是线性空间V中的两个零元素，即对于任何V，有120,0．因此有212000，121000．从而根据定义1.1.1的（1），得212211000000．故线性空间V中零元素是唯一的．证明设V为线性空间，V，与都是的负元素，则0，0．于是0()()，唯一性证毕．性质1.1.300，)1(，00k．性质1.1.4如果0k，则0k或0．设V为数域P上的线性空间，，进一步可证明如下性质．PkV,证明因为,1)01(010根据零元素的唯一性知;00又因为,00)]1(1[)1(1)1(所以，)1(；0[(1)]()[()]kkkkkk00．证明如果0k，则结论真．如果0k，则在0k两边乘1k，可得111()()00kkkkk．在线性代数中，对于n维向量空间nR中的向量组，介绍了一系列重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等．这些概念以及有关的性质只涉及线性运算，因此不难将这些概念和性质完全平行地搬到线性空间上来．定义1.1.2设12,,,m是数域P上的线性空间V中的一组向量，12,,,mkkk是数域P中的一组数，如果V中向量可以表示为1122mmkkk，则称可由12,,,m线性表示，也称向量是12,,,m的一个线性组合．1.1.3线性空间中向量的线性相关性定义1.1.3设12,,,m及12,,,s是数域P上的线性空间V中两个向量组，如果12,,,m中的每个向量都能由向量组12,,,s线性表示，则称向量组12,,,m可由向量组12,,,s线性表示；如果向量组12,,,m与向量组12,,,s可以相互线性表示，则称向量组12,,,m与12,,,s是等价的容易证明向量组之间的等价关系具有如下性质．（1）反身性每一个向量组都与它自身等价；（2）对称性如果向量组12,,,m与12,,,s等价，则向量组12,,,s与12,,,m等价；（3）传递性如果向量组12,,,m与12,,,s等价，且向量组12,,,s与12,,,t等价，则向量组12,,,m与12,,,t等价定义1.1.4设12,,,m是数域P上的线性空间V中的一组向量，如果存在一组不全为零的数12,,,mkkkP，使得等式02211mmkkk（1.1.1）成立，则称向量组12,,,m线性相关，否则称向量组12,,,m线性无关．由这定义得知，如果向量12,,,m线性相关，则使得（1.1.1）成立的数12,,,mkkk中至少有一个不等于零，比如10k，则有21211mmkkkk，这时我们说向量1是2,,m的线性组合，或者说向量1可由2,,m线性表示．一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向量可由这组向量中其他向量线性表示，反之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必线性相关．不难推知，线性无关的向量组，其中任一向量都不能由这组向量中其他向量线性表示.P4例题1.1.11例题1.1.12n维向量空间Rn及其子空间的基与维数的概念，可以推广到一般的线性空间中．1.2.1基与维数的概念定义1.2.1设V是数域P上的一个线性空间，如果V中存在r个向量r,,,21满足（1）r,,,21线性无关；（2）V中任一向量总可由r,,,21线性表示，那么r,,,21称为线性空间V的一个基，r称为线性空间V的维数，记为dimVr．维数为r的线性空间称为r维线性空间，记为rV．若线性空间V中能求得任意个数的线性无关的向量，则称V为无限维的线性空间．本书主要讨论有限维线性空间．1.2线性空间的基与维数例1.2.1在线性空间2R中，任意两个不共线的向量都构成2R的一个基；在线性空间3R中，任意三个不共面的向量都构成3R的一个基．并且2dim2R；3dim3R．例1.2.2设nmC是数域C上一切nm矩阵构成的线性空间，考虑如下的mn个矩阵)(000010000iEij)(j注意到ijE（njmi,,2,1;,,2,1）为除去第i行，第j列位置上的元素是1外，其余的元素都是0．由定义1.2.1可见ijE（njmi,,2,1;,,2,1）构成线性空间nmC的一个基，并且nmCnmdim．定理1.2.1设n,,,,321是数域P上的线性空间nV的一个基，则nV中的每一个向量可以唯一的表示为基向量n,,,21的线性组合．例1.2.3零空间的维数是零．此定理告诉我们，给定线性空间nV的一组基n,,,21后，任一向量，对应唯一的一组有序数组nxxx,,,21．P5例1.2.1例1.2.3证明只需要证明唯一性．设任意的nV有如下两种表示nnxxx2211，nnyyy2211．两式相减得0)()()(222111nnnyxyxyx．因为n,,,21线性无关，所以1122,,,nnxyxyxy．反之，任给一个有序数组nxxx,,,21，总有唯一的元素nV可以由基n,,,21线性表示为nnxxx2211nV（Pxxxn,,,21）．由此可知，如果n,,,21是nV的一个基，则nV中元素的全体可以表示为nV=nnxxx2211，nxxx,,,21P．也就是说nV中的向量与有序数组nxxx,,,21之间构成一一对应关系．也正是由于此性质，才有如下关于坐标的概念．（1）向量在给定基下的坐标定义1.2.2设n,,,21是线性空间nV的一个基，对于任意的