信号与系统第二章习题

X第1页经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应内容摘要状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解0000LLcciiuuX第2页例题•例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法）•例题2：求冲激响应（nm）•例题3：求系统的零状态响应•例题4：卷积•例题5：系统互联X第3页例2-1强迫响应。状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零，求系统的全响应，已知　　　　　系统的微分方程为描述某tuterrtettetrttrttr,00,206dd22dd3ddLTI22X第4页000)(zs)()(kkkrrr分别利用00)()(zskkrr，求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。这三个量之间的关系是分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：0)(kr：起始状态，它决定零输入响应；0)(zskr：跳变量，它决定零状态响应；0)(kr：初始条件，它决定完全响应；X第5页解：代入原方程有将tutetutδtrttrttr622dd3dd22方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量0,0zszsrr来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。方法一：利用0,0rr响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。先来求完全响应，再求零输入本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。X第6页方法一该完全响应是方程tutδtrttrttr622dd3dd22（1）的解且满足00,20rr方程（1）的特征方程为0232αα特征根为2121αα，1.完全响应X第7页方程（1）的齐次解为ttAAtr221ee因为方程（1）在t0时，可写为tutrttrttr62dd3dd22显然，方程（1）的特解可设为常数D，把D代入方程（2）求得3D所以方程（1）的解为3ee221ttAAtr下面由冲激函数匹配法定初始条件。（2）X第8页由冲激函数匹配法定初始条件据方程（1）可设tubtaδttr22ddtuattrdd无跳变tr代入方程（1），得tutδtrtuatubtaδ6223匹配方程两端的，及其各阶导数项，得t2aX第9页所以22000arr200rr代入把20,20rr3ee221ttAAtr1,021AA得，所以系统的完全响应为03e2ttrttrzi再求零输入响应X第10页2.求零输入响应是方程响应因为激励为零，零输入trzi02d3dd22trdttrttr（3）的解。，且满足00002000zizizizirrrrrr（3）式的特征根为2121αα，方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为ttBBtr221zieeX第11页ttBBtr221ziee式解得，代入，由)4(0020zizirr2,421BB所以，系统的零输入响应为0e2e42zittrtt下面求零状态响应。X第12页3.求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应，即03ee42zsttrtt因为特解为3，所以强迫响应是3，自由响应是tt2ee4X第13页方法二是方程零状态响应trzstuttrttrttr622dd3dd22（5）的解且满足000zszsrr项由于上式等号右边有t应含有冲激函数，，故trzs将发生跳变，即从而trzs00zszsrr处是连续的。在而0zsttr以上分析可用下面的数学过程描述tuatrttubtaδtrtzszs22dd,ddX第14页代入（5）式tutδtrtuatubtaδ6223根据在t=0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得t2a于是002000zszszszsrrarrt0时，方程为tutrttrttr62dd3dd22X第15页齐次解为ee221ttDD，特解为3，于是有3ee221zittDDtr得由初始条件00,20zszsrr1,421DD所以，系统的零状态响应为0)(3ee42zsttrtt方法一求出系统的零输入响应为0e2e42zittrtt完全响应=零状态响应+零输入响应，即0)(3e2ttrtX第16页例2-2。试求其冲激响应　　　　为已知某系统的微分方程)(2dd36dd5dd22thtettetrttrttr冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方法来求解本例。方法：奇异函数项相平衡法X第17页奇异函数项相平衡法首先求方程的特征根，得3,221αα因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，冲激响应为tuAAthtt3221ee对上式求导，得tuAAtAAtthtt322121e3e2ddtuAAtuAAtδAAtthtttt322132212122e9e4e3e2dd(1)X第18页入原微分方程，整理，以及上述三个等式代将tδtetttAAtAA23232121则得22332121AAAA解得7421AA代入（1）得tuthtt32e7e4X第19页例2-3已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，求该系统对激励的零状态响应。1sintututteO12tteO12ttr113对激励和响应分别微分一次，得2tδtδte321tututututrO12tteO12ttr11311X第20页时，当激励为tte1tututr响应为时，于是，当激励为tδte1tututr响应为)1()()(tututh即时的零状态响应为当激励为1sintututte2cos112dsin2dsin11sin110tututtutuττtutuτtututututthtetrttX第21页此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出错误的结果。例2-4ottf1121ottf21111tuet时不等于零；在其原因在于ttf1111tttf点有一个冲激信号只在从图形上看，，即分并不能恢复原信号然而，对此微分信号积tf1tftuττδτττftt111d1ddd，并画出波形。计算卷积)()(21tftfX第22页显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。从原理上看，如果tdτττfttftftfdddd1121则应有tτττftfddd11很容易证明，上式成立的充要条件是0lim1tft1e11121tutftutft此题若将f1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性质计算：X第23页tuττtδτττuttuττututututututftftsttτtττtττttte11de1de1ded1ed1dd1e1e11e11e11111111111111211e1e111tututt注意：Xo12t)()(21tftfX第24页例2-5对图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图(b)所示。(1)求复合系统的冲激响应h(t)，画出它的波形；(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统的框图;ththba和oottthathb12111(b)thathbthatfty(a)X第25页分析本例的总系统是几个子系统串、并联组合而成的。对因果系统而言，串联系统的冲激响应等于各串联子系统的冲激响应卷积；并联系统的冲激响应等于各并联子系统的冲激响应相加。系统的零状态响应，可以用系统的微分方程求解，也可以用系统的冲激响应与激励信号的卷积求解。后一种方法回避了起始点跳变问题，但是，这种方法只限于求零状态响应，不能求完全响应。其原因在于卷积运算是一种线性运算，它满足叠加性、齐次性与时不变性。而当系统的起始状态不为零时，系统的完全响应不满足叠加性、齐次性与时不变性。X第26页（1）求h(t)复合系统的冲激响应为为时，系统的零状态响应当),(thttfththththbaa其波形如图Otth1123(c)X第27页(2)(d)TsT1的框图和子系统ththba由于tutδtδtututha11tha框图如图(d)所示的关系为和子系统ththba1ththab所示的框图如图故(e)thb(e)TsT1TX第28页课后作业1-6：采用Matlabplot函数作图