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椭圆离心率的三种求法:(1)若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a2,b2,求a,c的值,利用公式e=ca或利用221abe直接求解.(2)求椭圆的离心率时,若不能直接求得ca的值,通常由已知寻求a,b,c的关系式,再与a2=b2+c2组成方程组,消去b得只含a,c的方程,再化成关于e的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解,从而达到简化运算的目的.涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a,b,c的不等式,消去b后,转化为关于e的不等式,从而求出e的取值范围.1.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点0,2b分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为()A.1617B.41717C.45D.255解析依题意,得c+b2c-b2=53,∴c=2b,∴a=b2+c2=5b,∴e=2b5b=255.答案D点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系,列出条件求离心率.2.设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是其左,右焦点.已知∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围.分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法,建立不等关系是解答此类问题的关键.解方法一根据椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a.①在△F1PF2中,由余弦定理,得cos60°=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=12,即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.②①式平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③由②③,得|PF1||PF2|=4b23.④由①和④运用基本不等式,得|PF1||PF2|≤2212||||PFPF,即4b23≤a2.由b2=a2-c2,得43(a2-c2)≤a2,解得e=ca≥12.又e<1,∴该椭圆的离心率的取值范围是[12,1).方法二如图,设椭圆与y轴交于B1,B2两点,则当点P位于B1或B2处时,点P对两焦点的张角最大,故∠F1B2F2≥∠F1PF2=60°,从而∠OB2F2≥30°.在Rt△OB2F2中,e=ca=sin∠OB2F2≥sin30°=12.又e<1,∴12≤e<1.∴该椭圆的离心率的取值范围是[12,1).点评在求椭圆离心率的取值范围时,常需建立不等关系,通过解不等式来求离心率的取值范围,建立不等关系的途径有:基本不等式,利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围,点与椭圆的位置关系所对应的不等关系,椭圆上点的横、纵坐标的有界性等),判别式,极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P运动到短轴的端点时,点P对两焦点的张角最大”这一极端情况.(2016全国Ⅰ高考)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆的中心到的距离为短轴长的41,则该椭圆的离心率为(B)A.31B.21C.32D.43解:设椭圆是焦点在x轴上的标准方程,上顶点与右焦点分别为)0,(),0(cFbB、,则直线l的方程为0bccybx。又椭圆短轴长为2b,椭圆中心到的距离为abccbbc22,所以babc241,即21ac。(2017济南一中调考)设椭圆的两个焦点分别为21FF、,过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若21PFF为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为(D)A.22B.212C.22D.12解:由题意得abc22,解得12ac。椭圆的中点弦方程的求法有三:(1)方程组法:通过解直线于与椭圆方程联立的方程组,利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解;(2)点差法:设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为),(),(1211yxByxA、,将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点),(00yx和斜率ABk有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。(3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,再借助中点得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差可得。1.已知椭圆141622yx,过点P(2,1)作一条弦,使弦在这点被平分,求此弦所在的直线方程.分析注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.解方法一由题意,知所求直线的斜率存在,设此直线的方程为y=k(x-2)+1.由y=kx-2+1,x216+y24=1消去y并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,所以x1+x2=82k2-k4k2+1.因为点P为弦AB的中点,所以2=x1+x22=42k2-k4k2+1,解得k=-12.故所求直线的方程为x+2y-4=0.方法二(点差法)设所求直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).因为点P为弦AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.又因为A,B在椭圆上,所以x21+4y21=16,x22+4y22=16.两式相减,得(x21-x22)+4(y21-y22)=0,即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以y1-y2x1-x2=-x1+x24y1+y2=-12,即kAB=-12.故所求直线的方程为y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.方法三(利用对称性,中点转移法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y).因为弦中点为P(2,1),所以另一个交点为B(4-x,2-y).因为点A,B在椭圆上,所以x2+4y2=16,①(4-x)2+4(2-y)2=16,②从而A,B在方程①-②所形成的图形上,即在直线x+2y-4=0上.又因为过A,B的直线只有1条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.解后反思解决中点弦的问题,最常用的方法有两种:一是把直线方程与曲线方程联立,消元得一元二次方程,利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式,进而求出参数;二是设出弦的两端点坐标,不具体求出,利用点差法整体表示直线斜率,进而求出参数;三利用对称性,设出弦的一个端点坐标,利用中点转移法求出另一端点的坐标,消去二次项直接求出弦所在的直线方程。
本文标题:椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法
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