高二数学计数原理

第一章：计数原理（补充）1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2：排列与组合加法原理和乘法原理问题1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法,乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。9.1加法原理和乘法原理2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南分析:从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm两个计数原理分类计数原理分步计数原理完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。1.2：排列与组合排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号表示.mnA排列数公式：!!121mnnmnnnnAmn其中：.,,*nmNmn并且1.2：排列与组合组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号表示.mnC组合数公式：!!!!121mnmnmmnnnnCmn其中：.,,*nmNmn并且判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.排列组合典型例题排列组合应用题的常用方法1、基本原理法2、特殊优先法3、捆绑法4、插空法5、间接法6、穷举法1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：（１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素,特殊位置优先安排策略（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略例：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种38C38A39C311C分组问题问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？平均分成m组要除以mmA2131CC2231424122CCCCA+2221112346422165362323CCCCCCCCAA+C+分配问题问题1：3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？问题2：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？212312CCA223124241222CCCCAA+222111234364221653632323CCCCCCCCAAA+C+多个分给少个时，采用先分组再分配的策略练习：(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解:(1)(2)641111062123150CCCC62221064218900CCCC分配问题问题1：3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？问题2：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？212312CCA223124241222CCCCAA+222111234364221653632323CCCCCCCCAAA+C+多个分给少个时，采用先分组再分配的策略此问也可用隔板法例、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:5294095C练习：1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？混合问题，先“组”后“排”例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。576441634ACC练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540CCA解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.5401)()(24122613CCCC例：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？涂色问题解法一:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。解法二:3种颜色4块区域，则肯定有两块同色，只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所以涂色的方法有：336(A种)例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？涂色问题例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答）654321涂色问题2、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（以数字作答）1、如图，是5个区域，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些区域，使每个区域涂一种颜色，且相邻的区域涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？课堂练习：1.3：二项式定理122rrnnnnnn1+Cx+Cx++Cx++Cxn(1+x)2、一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb1、二项定理:通项公式Tr+1=rrn-rnCab一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（4）mnmnmnCCC11nnnnnCCC210（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=且最大2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）1.3：二项式定理02413512nnnnnnnCCCCCC奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：赋值法2.化简：.1)1(4)1(6)1(4)1(234xxxx1532)1()1()1()1(xxxx3.展开式中含x3项的系数为___________。52()2xx的有理项1.求：1820奎屯王新敞新疆n2)x2x(4.的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14：3，求展开式的常数项2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT15.展开式的二项式系数之和为128、那么展开式的项数是；各项系数之和为：nyx)7(1、计算0.9973的近似值（精确到0.001）0.9973=(1-0.003)3=1−3·0.003+3·0.0032−0.0033≈1−3·0.003=0.991近似计算问题练习：求2.9986的近似值（精确到小数点后第三位）；2.9986=(3-0.002)6=36−6·35·0.002+15·34·0.0022−20·33·0.0023+…≈36−6·35·0.002+15·34·0.0022=729−2.916+0.00486≈726.089求：112004被10除的余数。110101010)110(20042004200320042003120042004020042004MCCCC余数与整除问题练：①5510被8除的余数.②5710被8除的余数.求证：5555+1能被8整除；因为5555+1=(56−1)55+1=56·M−1+1=56·M,所以5555+1能被8整除.余数与整除问题求证：42n+1+3n+2能被13整除；42n+1+3n+2=4·16n+9·3n=4·(13+3)n+9·3n=4·13·M+4·3n+9·3n=4·13·M+13·3n所以42n+1+3n+2能被13整除.求值、等式与不等式证明问题5105410631072108110910333333)2(CCCCC证明：1055845635425215222221)1(CCCCC求值：10243333910810271036104CCCC⑶求证：)2,)(2(231nNnnnn；股票术语；心峰の责任/也不想马开承担/所以/老疯子什么都没存在对马开说/可没存在想到/居然存在人敢算计马开/老疯子知道/马开要相信找不到合适の手段/别说什么责任不责任/能活过三佫月都相信侥幸/而这壹切/都相信面前の狐山所造成の/|前辈何