2009年高考试题——数学（江苏卷）解析版

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差221111(),nniiiisxxxxnn其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.若复数12429,69,zizi其中i是虚数单位，则复数12()zzi的实部为▲。【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。-202.已知向量a和向量b的夹角为30o，||2,||3ab，则向量a和向量b的数量积ab=▲。【解析】考查数量积的运算。32332ab3.函数32()15336fxxxx的单调减区间为▲.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】考查利用导数判断函数的单调性。2()330333(11)(1)fxxxxx，由(11)(1)0xx得单调减区间为(1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。4.函数sin()yAx（,,A为常数，0,0A）在闭区间[,0]上的图象如图所示，则=▲.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。【解析】考查三角函数的周期知识。32T，23T，所以3，5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲.【解析】考查等可能事件的概率知识。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s=▲.【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255sw.w.w.k.s.5.u.c.o.m7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W▲.【解析】考查读懂算法的流程图的能力。228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】考查类比的方法。体积比为1：8w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线3:103Cyxx上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为▲.【解析】考查导数的几何意义和计算能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m231022yxx，又点P在第二象限内，2x点P的坐标为（-2，15）10.已知512a，函数()xfxa，若实数m、n满足()()fmfn，则m、n的大小关系为▲.【解析】考查指数函数的单调性。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m51(0,1)2a，函数()xfxa在R上递减。由()()fmfn得：mn11.已知集合2log2,(,)AxxBa，若AB则实数a的取值范围是(,)c，其中c=▲.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。由2log2x得04x，(0,4]A；由AB知4a，所以c4。12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题．．．的序号▲（写出所有真命题的序号）.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题．．．的序号是(1)(2)13．如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为▲.【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线12AB的方程为：1xyab；直线1BF的方程为：1xycb。二者联立解得：2()(,)acbacTacac，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则()(,)2()acbacMacac在椭圆22221(0)xyabab上，2222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解得：275e14．设na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban，若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q=▲.【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。w.w.w.k.s.5.u.c.o.mna有连续四项在集合54,24,18,36,81，四项24,36,54,81成等比数列，公比为32q，6q=-9二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求||bc的最大值;（3）若tantan16，求证：a∥b.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF∥平面ABC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）平面1AFD平面11BBCC.【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。17．（本小题满分14分）设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d,(2)（方法一）12mmmaaa=(27)(25)23mmm,设23mt，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则12mmmaaa=(4)(2)86ttttt,所以t为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86mmmmmmmmaaaaaaaa为数列na中的项，故m+28a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm即经检验，符合题意的正整数只有2m。18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。(1)设直线l的方程为：(4)ykx，即40kxyk由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离22234()12d，结合点到直线距离公式，得：2|314|1,1kkkw.w.w.k.s.5.u.c.o.m化简得：272470,0,,24kkkork求直线l的方程为：0y或7(4)24yx，即0y或724280xy(2)设点P坐标为(,)mn，直线1l、2l的方程分别为：1(),()ynkxmynxmk，即：110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m故有：2241|5||31|111nmknkmkkkk，化简得：(2)3,(8)5mnkmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解，有：20,30mnmnm-n+8=0或m+n-5=0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解之得：点P坐标为313(,)22或51(,)22。19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nna.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为12hh.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为Am元和Bm元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h甲=h乙；(2)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。(1)当35ABmm时，23535(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲,235320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙,h甲=h乙（2）当35ABmm时，2211=,20511(20)(5)(1)(1)10