2009年高考试题——湖北卷（数学理）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1、已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}PaammRQbbnnR是两个向量集合，则PQIA．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝1．【答案】A【解析】因为(1,)(1,1)ambnn代入选项可得1,1PQ故选A.2.设a为非零实数，函数11(,)1axyxRxaxa且的反函数是A、11(,)1axyxRxaxa且B、11(,)1axyxRxaxa且C、1(,1)(1)xyxRxax且D、1(,1)(1)xyxRxax且2．【答案】D【解析】由原函数是11(,)1axyxRxaxa且，从中解得1(,1)(1)yxyRyay且即原函数的反函数是1(,1)(1)yxyRyay且，故选择D3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为A、13B、14C、16D、1123．【答案】C【解析】因为22()()2()mninmimnnmi为实数所以22nm故mn则可以取1、26，共6种可能，所以1166616PCC4.函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到'F,'F的函数解析式为(),yfx当()yfx为奇函数时，向量a可以等于.(,2)6A.(,2)6B.(,2)6C.(,2)6D4．【答案】B【解析】直接用代入法检验比较简单.或者设(,)axyv，根据定义cos[2()]26yyxx，根据y是奇函数，对应求出x，y。5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.18A.24B.30C.36D5．【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，顺序有33A种，而甲乙被分在同一个班的有33A种，所以种数是23343330CAA6.设222212012122)...2nnnnnxaaxaxaxax（，则22024213521lim[(...)(...)]nnnaaaaaaaa.1A.0B.1C2.2D6．【答案】B【解析】令0x得2021()22nna令1x时201222(1)2nnaaaa令1x时201222(1)2nnaaaa两式相加得：2202222(1)(1)222nnnaaa两式相减得：22132122(1)(1)222nnnaaa代入极限式可得，故选B7.已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.11,22KB.11,,22KC.22,22KD.22,,22K7．【答案】A【解析】易得准线方程是2212axb所以222241cabb即23b所以方程是22143xy联立2ykx可得223+(4k+16k)40xx由0可解得A8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元8．【答案】B【解析】设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则04082010100xyy,求Z=400x+300y最小值.可求出最优解为（4，2）故min2200故选B.9.设球的半径为时间t的函数Rt。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C9.【答案】D【解析】由题意可知球的体积为34()()3VtRt，则'2'()4()()cVtRtRt，由此可得'4()()()cRtRtRt，而球的表面积为2()4()StRt，所以'2'()4()8()()vStRtRtRt表＝，即''''228()()24()()()()()()ccvRtRtRtRtRtRtRtRt表＝＝＝＝，故选D10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.137810.【答案】C【解析】【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn，则由2nbn()nN可排除A、D，又由(1)2nnan知na必为奇数，故选C.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.11.已知关于x的不等式11axx＜0的解集是1(,1)(,)2.则a.11.【答案】-2【解析】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于1(1)()0axxa由解集特点可得11022aaa且12.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为，数据落在[2,10)内的概率约为.12.【答案】640.4【解析】由于在[6,10)范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64同样在[2,6)范围内的频数为16，所以在[2,10)范围内的频数和为80，概率为80/200=0.413.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为km.(结果中保留反余弦的符号).【答案】12800arccos13.【解析】如图所示，可得AO=42400，则在Rt△ABO中可得cos∠AOB=853所以8212800arccos53lRAOBR14.已知函数()'()cossin,4fxfxx则()4f的值为.14.【答案】1【解析】因为'()'()sincos4fxfxx所以'()'()sincos4444ff'()214f故()'()cossin()144444fff15．已知数列na满足：1a＝m（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a＝1，则m所有可能的取值为__________。15.【答案】4532【解析】（1）若1am为偶数，则12a为偶,故223a224amma①当4m仍为偶数时，46832mmaa故13232mm②当4m为奇数时，4333114aam63144maOBCAOBCA853故31414m得m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam为偶数，故3312ma必为偶数63116ma，所以3116m=1可得m=5三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量＝x＋y，求的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m16.解析：依题意，可分别取5、6、11取，则有1123(5),(6),(7)441616164321(8),(9),(10),(11)16161616ppppppp的分布列为567891011p1162163164163162161161234321567891011816161616161616E.17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知向量(cos,sin),(cos,sin),(1,0)aaabc（Ⅰ）求向量bc的长度的最大值；（Ⅱ）设a4，且()abc，求cos的值。17.解析：（1）解法1：(cos1,sin),bc=则222||(cos1)sin2(1cos).bc21cos1,0||4bc，即0||2.bcw.w.w.k.s.5.u.c.o.m当cos1时，有||2,bc所以向量bc的长度的最大值为2.解法2：|1b|=，||1c，||||2|bc|b+c当cos1时，有|(2,0)bc|=，即|2bc|=，bc的长度的最大值为2.（2）解法1：由已知可得(cos1,sin),bc=()coscossinsincoscos()cosabc。a⊥(b+c)，()0abc，即cos()cos。由4，得cos()cos44，即2()44kkz。22()4kkkz或，,于是cos0cos1或。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解法2：若4，则22(,)22a，又由(cos,sin)b，(1,0)c得22222()(,)(cos1,sin)cossin22222abca⊥(b+c)，()0abc，即cos(cos1)0sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解得cos0或cos1，经检验，cos0cos1或即为所求18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，2ADa点E是SD上的点，且(02)DEa（Ⅰ）求证：对任意的(0,2]，都有ACBE（Ⅱ）设二面角C—