2009年高考试题——数学理（安徽卷）解析版

绝密★启用前高.考.资.源.网2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页。第II卷第3学科至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。高.考.资.源.网考生注意事项：高.考.资.源.网1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。高.考.资.源.网2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。高.考.资.源.网3.答第II卷时，必须使用用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。高.考.资.源.网4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。高.考.资.源.网参考公式：高.考.资.源.网如果事件A、B互斥，那么S表示底面积，h表示底面上的高高.考.资.源.网()()()PABPAPB棱柱体积VSh高.考.资.源.网如果事件AB、相互独立，那么棱锥体积13VSh高.考.资.源.网()()()PABPAPB高.考.资.源.网第I卷(选择题共50分)高.考.资.源.网一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。高.考.资.源.网（1）i是虚数单位，若17(,)2iabiabRi，则乘积ab的值是高.考.资.源.网（A）－15（B）－3（C）3（D）15高.考.资.源.网[解析]17(17)(2)1325iiiii，∴1,3,3abab，选B。（2）若集合21|21|3,0,3xAxxBxx则A∩B是高.考.资.源.网（A）11232xxx或(B)23xx（C）122xx(D)112xx高.考.资.源.网[解析]集合1{|12},{|3}2AxxBxxx或，∴1{|1}2ABxx选D（3）下列曲线中离心率为62的是高.考.资.源.网（A）22124xy（B）22142xy（C）22146xy（D）221410xy高.考.资.源.网[解析]由62e得222222331,1,222cbbaaa，选B(4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是高.考.资.源.网（A）p:ac＞b+d,q:a＞b且c＞d高.考.资.源.网（B）p:a＞1,b1q:()(01)xfxabaa，且的图像不过第二象限高.考.资.源.网（C）p:x=1,q:2xx高.考.资.源.网（D）p:a＞1,q:()log(01)afxxaa，且在(0,)上为增函数高.考.资.源.网[解析]：由a＞b且c＞dac＞b+d，而由ac＞b+da＞b且c＞d，可举反例。选A（5）已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是高.考.资.源.网（A）21（B）20（C）19（D）18高.考.资.源.网[解析]：由1a+3a+5a=105得33105,a即335a，由246aaa=99得4399a即433a，∴2d，4(4)(2)412naann，由100nnaa得20n，选B（6）设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是高.考.资.源.网高.考.资.源.网[解析]：/()(32)yxaxab，由/0y得2,3abxax，∴当xa时，y取极大值0，当23abx时y取极小值且极小值为负。故选C。或当xb时0y，当xb时，0y选C（7）若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是高.考.资.源.网（A）73（B）37（C）43（D）34高.考.资.源.网[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由3434xyxy得A（1，1），又B（0，4），C（0，43）∴S△ABC=144(4)1233，设ykx与34xy的交点为D，则由1223BCDSSABC知12Dx，∴52Dy∴5147,2233kk选A。（8）已知函数()3sincos(0)fxxx，()yfx的图像与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则()fx的单调递增区间是高.考.资.源.网（A）5[,],1212kkkZ（B）511[,],1212kkkZ高.考.资.源.网（C）[,],36kkkZ（D）2[,],63kkkZ高.考.资.源.网[解析]：()2sin()6fxx，由题设()fx的周期为T，∴2，由222262kxk得，,36kxkkz，故选C（9）已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是高.考.资.源.网（A）21yx（B）yx（C）32yx（D）23yx高.考.资.源.网[解析]：由2()2(2)88fxfxxx得2(2)2()(2)8(2)8fxfxxx，即22()(2)44fxfxxx，∴2()fxx∴/()2fxx，∴切线方程为12(1)yx，即210xy选A（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于高.考.资.源.网（A）175（B）275（C）375（D）475[解析]如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有22661515225CC种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有BAxDyCOy=kx+43ABCDEF//,//,//,ACDBADCBAEBF//,//,//AFBECEFDCFEDw.w.w.k.s.5.u.c.o.m共12对，所以所求概率为12422575p，选D2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项：高.考.资.源.网请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。（11）若随机变量2~(,)XN，则()PX=________.[解析]12（12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为()4R，它与曲线12cos22sinxy（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.[解析]直线的普通方程为yx，曲线的普通方程22(1)(2)4xy∴22|12|||22()1411AB(13)程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.[解析]由程序框图知，循环体被执行后a的值依次为3、7、15、31、63、127，故输出的结果是127。（14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中,xyR,则xy的最大值是________.[解析]设AOC,,OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB，即开始1a21aa100?a输出a结束是否01cos21cos(120)2xyxy∴02[coscos(120)]cos3sin2sin()26xy（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m○1相对棱AB与CD所在的直线异面；○2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；○3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。[解析]①④⑤三．解答题;本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.（16）（本小题满分12分）在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积.本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分解：（Ⅰ）由2CA，且CAB，∴42BA，∴2sinsin()(cossin)42222BBBA，∴211sin(1sin)23AB，又sin0A，∴3sin3A（Ⅱ）如图，由正弦定理得sinsinACBCBA∴36sin3321sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABAB32261633333∴116sin63232223ABCSACBCCw.w.w.k.s.5.u.c.o.mABC（17）（本小题满分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。解：随机变量X的分布列是X123P131216X的均值为111111233266EX附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：①②③④⑤⑥A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角B－AF－D的大小；（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D的平面角。由FCAC，2FCAC，得4FAC