2009年高考试题——数学理（广东卷）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）学科网数学（理科）解析学科网一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。学科网1.巳知全集UR，集合{212}Mxx和{21,1,2,}Nxxkk的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有学科网学科网2.设z是复数，()az表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，()ai学科网学科网3.若函数()yfx是函数xya（0a且1a）的反函数，其图像经过点(,)aa，则()fx学科网学科网学科网4.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa学科网学科网5.给定下列四个命题：学科网学科网①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；学科网学科网②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；学科网学科网③垂直于同一直线的两条直线相互平行；学科网学科网科网6.一质点受到平面上的三个力1F，2F，3F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,FF成60角，且1F，2F的大小分别为２和４，则3F的大小为学科网学科网7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有学科网学科网.A36种.B12种.C18种.D48种学科网28.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为甲和乙（如图2所示）．那么对于图中给定的0t和1t，下列判断中一定正确的是学科网学科网.A在1t时刻，甲车在乙车前面学科网学科网.B1t时刻后，甲车在乙车后面学科网学科网.C在0t时刻，两车的位置相同学科网学科网二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。学科网（一）必做题（９～１２题）学科网学科网9.随机抽取某产品n件，测得其长度分别为12,,naaa，则图3所示的程序框图输出的s，s表示的样本的数字特征是。（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“=”）学科网学科网10.若平面向量a，b满足1ab，ab平行于x轴，(2,1)b，则a。学科网学11.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为。学科网12.已知离散型随机变量X的分布列如右表．若0EX，1DX，则a，b。学科网学科网学科网学科网（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）学科网13.（坐标系与参数方程选做题）若直线112:2xtlykt（t为参数）与直线2:12xslys（s为参数）垂直，则k。学科网学科网14.（不等式选讲选做题）不等式112xx的实数解为。学科网15.(几何证明选讲选做题）如图4，点,,ABC是圆O上的点，且4,45ABACB，则圆O的面积等于。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.已知向量(sin,2)(1,cos)ab与互相垂直，其中(0,)2。（1）求sincos和的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值。17.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中x的值；（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率。(结果用分数表示．已知77327578125,2128,18253651825故一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数219365219365n（天）【考点描述】概率与统计。18.如图６，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCCB的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,CDAA的中点。设点11,EG分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCCD内的正投影。（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面11DCCD内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线11FGFEE平面；（３）求异面直线11EGEA与所成角的正弦值。19.已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy，且ABxx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D。设点(,)Pst是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合。（１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（２）若曲线22251:24025Gxaxyya与D有公共点，试求a的最小值。得极小值1(0)mm。设()()gxfxx。（１）若曲线()yfx上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值；（２）()kkR如何取值时，函数()yfxkx存在零点，并求出零点。21.已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn。从点(1,0)P向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnPxy。（１）求数列{}{}nnxy与的通项公式；（２）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy。