2009年高考试题——数学理（北京卷）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1．在复平面内，复数(12)zii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.∵(12)22ziiiii，∴复数z所对应的点为2,1，故选B.2．已知向量a、b不共线，ckab(kR),dab,如果c//d，那么（）A．1k且c与d同向B．1k且c与d反向C．1k且c与d同向D．1k且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.取a1,0，b0,1，若1k，则cab1,1，dab1,1，显然，a与b不平行，排除A、B.若1k，则cab1,1，dab1,1，即c//d且c与d反向，排除C，故选D.3．为了得到函数3lg10xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．lg31lg103yxx，B．lg31lg103yxx，C．3lg31lg10xyx，D．3lg31lg10xyx.故应选C.4．若正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1，1AB与底面ABCD成60°角，则11AC到底面ABCD的距离为（）A．33B．1C．2D．3【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.（第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160BAB，如图，11tan603BB，故选D.5．“2()6kkZ”是“1cos22”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当2()6kkZ时，1cos2cos4cos332k，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m反之，当1cos22时，有2236kkkZ，或2236kkkZ，故应选A.6．若5(12)2(,abab为有理数），则abw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（）A．45B．55C．70D．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵501234501234555555512222222CCCCCC15220202204241292，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由已知，得412922ab，∴412970ab.故选C.7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A（个），当0不排在末位时，有111488488256AAA（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328（个）.故选B.8．点P在直线:1lyx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于,AB两点，且|||PAAB，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设,,,1AmnPxx，则2,22Bmxnx，∵2,AByx在上，∴2221(2)nmnxmx（第8题解答图）消去n,整理得关于x的方程22(41)210xmxm（1）∵222(41)4(21)8850mmmm恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．1lim1xxxxx_________.W【答案】12【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”.属于基础知识、基本运算的考查.2111111limlimlimlim121111xxxxxxxxxxxxxxxxxx，故应填12.10．若实数,xy满足2045xyxy则syx的最小值为__________.【答案】6【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图，当4,2xy时，246syx为最小值.故应填6.（第10题解答图）11．设()fx是偶函数，若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f处的切线的斜率为_________.【答案】1【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算的考查.取2fxx，如图，采用数形结合法，易得该曲线在(1,(1))f处的切线的斜率为1.故应填1.12．椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF_________；12FPF的小大为__________.（第11题解答图）【答案】2,120【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.∵229,3ab，∴22927cab，∴1227FF，又1124,26PFPFPFa，（第12题解答图）∴22PF，又由余弦定理，得2221224271cos2242FPF，∴12120FPF，故应填2,120.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m13．若函数1,0()1(),03xxxfxx则不等式1|()|3fx的解集为____________.【答案】3,1【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133xfxxx.（2）由001|()|01111133333xxxxfxx.∴不等式1|()|3fx的解集为|31xx，∴应填3,1.14．已知数列{}na满足：434121,0,,N,nnnnaaaan则2009a________；2014a=_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331aa，2014210071007425210aaaa.∴应填1，0.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA，∴23,sin35CAA，∴231343sinsincossin32210CAAA.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又∵,33Bb，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin6sin5bAaB.∴△ABC的面积1163433693sin32251050SabC.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m16．（本小题共14分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面,,60,90ABCPAABABCBCA，点D，E分别在棱,PBPC上，且//DEBCw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求证：BC平面PAC；（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又90BCA，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴12DEBC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴12ADAB，∴在Rt△ABC中，60ABC，∴12BCAB.∴在Rt△ADE中，2sin24DEBCDAEADAD，∴AD与平面PAC所成的角的大小2arcsin4.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角ADEP的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴90PAC.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时90AEP，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已知可得1330,0,0,,,0,0,,0,0,0,222ABaaCaPa.（Ⅰ）∵10,0,,,0,02APaBCa，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴0BCAP，∴BC⊥AP.又∵90BCA，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴13131,,,0,,44242DaaaEaa，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥