2009年高考试题——数学理（海南）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）数学（理工农医类）第I卷一，选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。（1）已知集合1,3,5,7,9,0,3,6,9,12AB,则NACBI(A)1,5,7(B)3,5,7(C)1,3,9(D)1,2,3解析：易有NACB1,5,7，选A(2)复数32322323iiii（A）0（B）2（C）-2i(D)2解析：32322323iiii32233223262131313iiiiii,选D（3）对变量x,y有观测数据理力争（1x，1y）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（1u，1v）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断。（A）变量x与y正相关，u与v正相关（B）变量x与y正相关，u与v负相关（C）变量x与y负相关，u与v正相关（D）变量x与y负相关，u与v负相关解析：由这两个散点图可以判断,变量x与y负相关，u与v正相关,选C（4）双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为（A）23（B）2（C）3（D）1解析：双曲线24x-212y=1的焦点(4,0)到渐近线3yx的距离为340232d,选A（5）有四个关于三角函数的命题：1p：xR,2sin2x+2cos2x=122p:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny3p:x0,,1cos22x=sinx4p:sinx=cosyx+y=2其中假命题的是（A）1p，4p（B）2p，4p（3）1p，3p（4）2p，4p解析：1p：xR,2sin2x+2cos2x=12是假命题；2p是真命题，如x=y=0时成立；3p是真命题，x0,,21cos2sin0sinsinsin2xxxxx，=sinx；4p是假命题，22如x=,y=2时，sinx=cosy,但x+y。选A.（6）设x,y满足241,22xyxyzxyxy则（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值解析：画出可行域可知，当zxy过点（2，0）时，min2z，但无最大值。选B.（7）等比数列na的前n项和为ns，且41a，22a，3a成等差数列。若1a=1，则4s=（A）7（B）8（3）15（4）16解析：41a，22a，3a成等差数列，22132111444,44,440,215aaaaaqaqqqq即，S,选C.（8）如图，正方体1111ABCDABCD的棱线长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且22EF，则下列结论中错误的是（A）ACBE（B）//EFABCD平面（C）三棱锥ABEF的体积为定值（D）异面直线,AEBF所成的角为定值解析：A正确，易证11;ACDDBBACBE平面，从而B显然正确，//,//EFBDEFABCD平面易证；C正确，可用等积法求得；D错误。选D.（9）已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析：,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知，为的重心;00,,,.PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPBAPBCPC，，同理，为ABC的垂心，选（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5xh，那么输出的各个数的合等于（A）3（B）3.5（C）4（D）4.5【解析】第1步：y＝0，x＝－1.5；第2步：y＝0，x＝－1；第3步：y＝0，x＝－0.5；第4步：y＝0，x＝0；第5步：y＝0，x＝0.5；第6步：y＝0.5，x＝1；第7步：y＝1，x＝1.5；第8步：y＝1，x＝2；第9步：y＝1，退出循环，输出各数和为：0.5＋1＋1＋1＝3.5，故选.B。（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c2m）为（A）48+122（B）48+242（C）36+122（D）36+242【解析】棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝62，全面积为：21×6×6＋2×21×6×5＋21×62×4＝48＋122，故选.A。（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f（x）=min{2x,x+2,10-x}(x0),则f（x）的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7【解析】画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。.第II卷二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.解析：抛物线的方程为24yx，2111122122224,,,,4yxAxyBxyxxyx则有，221212121212441yyyyxxxxyy两式相减得，，直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x（14）已知函数y=sin（x+）（0,-）的图像如图所示，则=________________解析：由图可知，544,,2,1255Tx把代入y=sin有：89,5101=sin答案：910（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。解析：3374140CC，答案：140（16）等差数列{na}前n项和为nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,则m=_______解析：由1ma+1ma-2ma=0得到1212212120,0,22138102mmmmmmmaaaaaSmam又。答案10三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。(17)解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角11,；B点到M，N的俯角22,；A，B的距离d（如图）所示）.……….3分②第一步：计算AM.由正弦定理212sinsin()dAM；第二步：计算AN.由正弦定理221sinsin()dAN；第三步：计算MN.由余弦定理22112cos()MNAMANAMAN.方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的府角2，2；A，B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理112sinsin()dBM；第二步：计算BN.由正弦定理121sinsin()dBN；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第三步：计算MN.由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN（18）（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.表1：生产能力分组100,110110,120120,130130,140140,150人数48x53表2：生产能力分组110,120120,130130,140140,150人数6y3618（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(18)解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1111010100p.（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.故48525x，得5x，6361875y，得15y.频率分布直方图如下从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小.（ii）485531051151251351451232525252525Ax，6153618115125135145133.875757575Bx，2575123133.8131.1100100xA类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1.（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。（19）解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SOAC。在正方形ABCD中，ACBD，所以ACSBD平面,得ACSD.(Ⅱ)设正方形边长a，则2SDa。又22ODa，所以060SOD,连OP，由（Ⅰ）知ACSBD平面,所以ACOP,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m且ACOD,所以POD是二面角PACD的平面角。由SDPAC平面,知SDOP,所以030POD,即二面角PACD的大小为030。（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使//BEPAC平面由（Ⅱ）可得24PDa，故可在SP上取一点N,使PNPD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在BDN中知//BNPO，又由于//NEPC,故平面//BENPAC平面，得//BEPAC平面,由于21SNNP：：,故21SEEC：：.解法二：（Ⅰ）；连BD,设AC交于BD于O，由题意知SOABCD平面.以O为坐标原点，OBOCOS，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz如图。设底面边长为a，则高62SOa。于是62(0,0,),(,0,0)22SaDa2(0,,0)2Caw.w.w.k.s.5.u.c.o.m2(0,,0)2OCa26(,0,)22SDaa0OCSDw.w.w.k.s.5.u.c.o.m故OCS