2009年高考试题——数学理（江西卷）解析版

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。第Ⅰ卷考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件,AB互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24SR如果事件,AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数2(1)(1)zxxi为纯虚数，则实数x的值为A．1B．0C．1D．1或1答案：A【解析】由210110xxx故选Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m2．函数2ln(1)34xyxx的定义域为A．(4,1)B．(4,1)C．(1,1)D．(1,1]答案：C【解析】由21011141340xxxxxx.故选C3．已知全集UAB中有m个元素，()()UUAB痧中有n个元素．若ABI非空，则ABI的元素个数为A．mnB．mnC．nmD．mn答案：D【解析】因为[()()]UUUABAB痧?，所以AB共有mn个元素,故选D4．若函数()(13tan)cosfxxx，02x，则()fx的最大值为A．1B．2C．31D．32答案：B【解析】因为()(13tan)cosfxxx=cos3sinxx=2cos()3x当3x是，函数取得最大值为2.故选B5．设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为A．4B．14C．2D．12答案：A【解析】由已知(1)2g，而()()2fxgxx，所以(1)(1)214fg故选A6．过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为A．22B．33C．12D．13w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：B【解析】因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而可得33cea，故选B7．(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则,,abn的值可能为A．2,1,5abnB．2,1,6abnC．1,2,6abnD．1,2,5abnw.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：D【解析】5(1)2433nb，5(1)322na，则可取1,2,5abn，选D8．数列{}na的通项222(cossin)33nnnan，其前n项和为nS，则30S为A．470B．490C．495D．510答案：A【解析】由于22{cossin}33nn以3为周期,故2222222223012452829(3)(6)(30)222S221010211(32)(31)591011[(3)][9]25470222kkkkkk故选A9．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为A．OABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45D．二面角DOBA为45w.w.w.k.s.5.u.c.o.myxzOABCD答案：B【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为A．3181B．3381C．4881D．5081w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：D【解析】5553(323)50381P故选D11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,，则下列关系中正确的为A．143B．312C．423D．341答案：C【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以122、2、33，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以423，则4231，选C12．设函数2()(0)fxaxbxca的定义域为D，若所有点(,())(,)sftstD构成一个正方形区域，则a的值为A．2B．4C．8D．不能确定w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：B【解析】12max||()xxfx，222444bacacbaa，||2aa，4a，选B绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上13．已知向量(3,1)a，(1,3)b，(,7)ck，若()ac∥b，则k=．答案：5【解析】36513kk14．正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,AB两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案：8【解析】由条件可得2AOB，所以22AB，O到平面ABC的距离为233，所以所求体积等于8．15．若不等式29(2)2xkx的解集为区间,ab,且2ba,则k．答案：2【解析】由数形结合，直线(2)2ykx在半圆29yx之下必须3,1ba，则直线(2)2ykx过点（1,22），则2k16．设直线系:cos(2)sin1(02)Mxy,对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数(3)nn，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．答案：,BC【解析】因为cos(2)sin1xy所以点(0,2)P到M中每条直线的距离2211cossind即M为圆C:22(2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线,所以A错误又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确w.w.w.k.s.5.u.c.o.m对任意3n,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,故命题中正确的序号是B,C三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）设函数()xefxx（1）求函数()fx的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）若0k，求不等式'()(1)()0fxkxfx的解集．解：(1)'22111()xxxxfxeeexxx,由'()0fx,得1x.因为当0x时,'()0fx；当01x时,'()0fx；当1x时,'()0fx；所以()fx的单调增区间是:[1,)；单调减区间是:(,0)(0,1]，.(2)由2'21()(1)()xxkxkxfxkxfxex2(1)(1)0xxkxex,得：(1)(1)0xkx.故：当01k时,解集是：1{1}xxk；当1k时，解集是：；当1k时,解集是：1{1}xxk.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m18．（本小题满分12分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．(1)写出的分布列；(2)求数学期望E．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）的所有取值为0,5,10,15,20,25,301(0)64P3(5)32P15(10)64P5(15)16P15(20)64P3(25)32P1(30)64P（2）315515315101520253015326416643264E.19．（本小题满分12分）△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：(1)因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得sin()sin()CABC.所以CABC,或()CABC(不成立).即2CAB,得3C，所以.23BA又因为1sin()cos2BAC，则6BA，或56BA（舍去）得5,412AB(2)162sin3328ABCSacBac，又sinsinacAC,即2322ac，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m得22,23.ac20．（本小题满分12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.解：方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD。（2）由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点可得22AM，2223MCMDCD则1262ACMSAMMC设D到平面ACM的距离为h，由DACMMACDVV即268h，可求得263h，设所求角为，则6sin3hCD，6arcsin3。（3）可求得PC=6。因为AN⊥NC，由PNPAPAPC，得PN83。所以:5:9NCPC。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的59。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为5106927h。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4