2009年高考试题——数学理（湖南卷）解析版

2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若2loga＜0，1()2b＞1，则(D)A．a＞1,b＞0B．a＞1,b＜0C.0＜a＜1,b＞0D.0＜a＜1,b＜0【答案】：D【解析】由2log0a得0,a由1()12b得0b，所以选D项。2．对于非0向时a,b,“a//b”的确良（A）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】由0ab，可得ab，即得//ab，但//ab，不一定有ab，所以“0ab”是“//ab的充分不必要条件。3．将函数y=sinx的图象向左平移(0＜2)的单位后，得到函数y=sin()6x的图象，则等于（D）A．6B．56C.76D.116【答案】：D【解析】解析由函数sinyx向左平移的单位得到sin()yx的图象，由条件知函数sin()yx可化为函数sin()6yx，易知比较各答案，只有11sin()6yxsin()6x，所以选D项。4．如图1，当参数2时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则[B]A10B10C120D210【答案】：B【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)是连续的，可知参数120,0，即排除C，D项，又取1x，知对应函数值121211,11yy，由图可知12,yy所以12，即选B项。5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位w.w.w.k.s.5.u.c.o.m[C]A85B56C49D28【答案】：C【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1227CC42，另一类是甲乙都去的选法有2127CC=7，所以共有42+7=49，即选C项。6.已知D是由不等式组2030xyxy，所确定的平面区域，则圆224xy在区域D内的弧长为[B]A4B2C34D32【答案】：B【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1,213，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以11|()|23tan1111|23（），所以4，而圆的半径是2，所以弧长是2，故选B现。7．正方体ABCD—1A1B1C1D的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为（C）A．2B．3C.4D.5w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】：C【解析】解析如图示，则BC中点，1B点，D点，1D点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项。8.设函数()yfx在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数(),()(),()kfxfxKfxKfxK取函数()fx=12xe。若对任意的(,)x，恒有()kfx=()fx，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．K的最大值为2B.K的最小值为2C．K的最大值为1D.K的最小值为1【D】【答案】：D【解析】由'()10,xfxe知0x，所以(,0)x时，'()0fx，当(0,)x时，'()0fx，所以max()(0)1,fxf即()fx的值域是(,1]，而要使()()kfxfx在R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时()()kfxfx。故选D项。二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__【答案】：12【解析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15)x人，只喜爱乒乓球的有(10)x人，由此可得(15)(10)830xxx，解得3x，所以1512x，即所求人数为12人。10．在323(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为___7__(用数字作答)【答案】：7【解析】由条件易知3333(1),(1),(1)xxx展开式中x项的系数分别是123333C,C,C，即所求系数是331711、若x∈(0,2)则2tanx+tan(2-x)的最小值为22.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】：22【解析】由(0,)2x，知1tan0,tan()cot0,2tan所以12tantan()2tan22,2tan当且仅当tan2时取等号，即最小值是22。12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C的离心率为62【答案】：62【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(bcb是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得tan30bc，所以3cb，所以2ab，离心率3622cea13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数数位50。【答案】：40【解析】由条件易知B层中抽取的样本数是2，设B层总体数是n，则又由B层中甲、乙都被抽到的概率是222nCC=128，可得8n，所以总体中的个数是4884014、在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为3【答案】：（1）12；（2）3【解析】（1）由ABC的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过,,ABC三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是d，则由222513d，可得12d。（2）设过ABC三点的截面圆的圆心是1,OAB中点是D点，球心是O点，则连三角形1OOD，易知1ODO就是所求的二面角的一个平面角，2211()42ABODOA，所以1111234OOODOOD，即正切值是3。15、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=103，…，f(n)=16(n+1)(n+2)15.【答案】：101,(1)(2)36nn【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知1212121,,,abcxxabyybczzca1212121221122()2,2xxyyzzabcgxyxzyz12121262()2gxxyyzzabc即12121211110(3)13233gfabcxxyyzzg而进一步可求得(4)5f。由上知(1)f中有三个数，(2)f中有6个数，(3)f中共有10个数相加，(4)f中有15个数相加….，若(1)fn中有1(1)nan个数相加，可得()fn中有1(1)nan个数相加，且由363331045(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),...3333333fffffff可得1()(1),3nfnfn所以11113()(1)(2)...(1)3333333nnnnnnfnfnfnf=113211(1)(2)3333336nnnnn三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在ABC，已知2233ABACABACBC，求角A，B，C的大小。解：设,,BCaACbABc由23ABACABAC得2cos3bcAbc，所以3cos2A又(0,),A因此6Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m由233ABACBC得23bca，于是23sinsin3sin4CBA所以53sinsin()64CC，133sin(cossin)224CCC，因此22sincos23sin3,sin23cos20CCCCC，既sin(2)03C由A=6知506C，所以3，4233C，从而20,3C或2,3C，既,6C或2,3C故2,,,636ABC或2,,663ABC。17.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件1A,1B,1C，i=1，2，3.由题意知1A23AA相互独立，1B23BB相互独立，1C23CC相互独立，1A,1B,1C（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（1A）=，P（1B）=13，P（1C）=16（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（1A2B3C）=6P（1A）P（2B）P（3C）=6121316=16(2)解法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，13），且=3。所以P（=0）=P（=3）=13C31()3=127，P（=1）=P（=2）=23C31()32()3=29w.w.w.k.s.5.u.c.o.mP（=2）=P（=1）=13C1()322()3=49P（=3）=P（=0）=03C32()3=827故的分布是0123P1272949827的数学期望E=0127+129+249+3827=2解法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D，i=1,2,3，由此已知，1D·D，1D相互独立，且P（1D）-（1A，1C）=P（1A）+P（1C）=12+16=23所以--2(3,)3B,既3321()()()33KKKPKC，0,1,2,3.kw.w.w.k.s.5.u.c.o.m故的分布列是0123p127294982718.（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABCABC中，2ABAAD是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE。（I）证明平面ADE平面11ACCA（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解（I）如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE。AA1AE=A所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1。（2）解法1如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1BC1D，A1BD