2009年高考试题——数学理（辽宁卷）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）一-选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3x≤5},N={x|－5x5},则M∩N=(A){x|－5＜x＜5}(B){x|－3＜x＜5}(C){x|－5＜x≤5}(D){x|－3＜x≤5}【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.【答案】B（2）已知复数12zi，那么1z=（A）52555i（B）52555i（C）1255i（D）1255i【解析】211121212(12)(12)12iiiiiz＝1255i【答案】D（3）平面向量a与b的夹角为060，(2,0)a，1b则2ab（A）3(B)23(C)4(D)12【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12∴2ab23【答案】B(4)已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（A）22(1)(1)2xy(B)22(1)(1)2xy(C)22(1)(1)2xy(D)22(1)(1)2xy【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.【答案】B（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种（B）80种（C）100种（D）140种【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.【答案】A（6）设等比数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则69SS=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（A）2（B）73（C）83（D）3【解析】设公比为q,则36333(1)SqSSS＝1＋q3＝3q3＝2于是63693112471123SqqSq【答案】B(7)曲线y=2xx在点（1，－1）处的切线方程为（A）y=x－2(B)y=－3x+2(C)y=2x－3(D)y=－2x+1【解析】y’＝2222(2)(2)xxxx,当x＝1时切线斜率为k＝－2【答案】D(8)已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f=（A）23(B)23(C)－12(D)12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23【答案】B（9）已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是（A）（13，23）(B)［13，23）(C)（12，23）(D)［12，23）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x－1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性得|2x－1|＜13解得13＜x＜23【答案】A10）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据1a，2a，。。。Na，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（A）A0,V=S－T(B)A0,V=S－T(C)A0,V=S+Tw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（D）A0,V=S+T【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T【答案】C（11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积在底面正六边形ABCDER中BH＝ABtan30°＝33AB而BD＝3AB故DH＝2BH于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC【答案】C（12）若1x满足2x+2x=5,2x满足2x+22log(x－1)=5,1x+2x＝（A）52(B)3(C)72(D)4【解析】由题意11225xx①22222log(1)5xx②所以11252xx,121log(52)xx即21212log(52)xx令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2于是2x1＝7－2x2【答案】C（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为h.【解析】9801+10202+103214x＝1013【答案】1013（14）等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4aABCDEFH【解析】∵Sn＝na1＋12n(n－1)d∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4【答案】31（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则该几何体的体积为3mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于16×2×4×3＝4【答案】4（16）以知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.【答案】9（17）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，030，于水面C处测得B点和D点的仰角均为060，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(17)解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，……5分在△ABC中，,ABCsinCBCAsinAAB即AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33.020623故B，D的距离约为0.33km。……12分（18）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（18）（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=2.因为平面ABCD⊥平面DCED，所以MG⊥平面DCEF，可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=6，所以sin∠MNG=36为MN与平面DCEF所成角的正弦值……6分解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(－1,1,2).又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(MN,DA)=36|||||DAMNDAMN·所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos36,DAMN·……6分(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，……8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线.……12分（19）（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（19）解：（Ⅰ）依题意X的分列为………………6分（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，11111122AABABABAB,13所求的概率为11111122()()()()PAPABPABPABPAB（）11111122()()())()()()PABPAPBPAPBPAPB（0.10.90.90.10.10.10.30.30.28………12分（20）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为2219114bb，解得23b，234b（舍去）所以椭圆方程为22143xy。……………4分（Ⅱ）设直线AE方程为：3(1)2ykx，代入22143xy得2223(34)4(32)4()1202kxkkxk设(x,y)EEE,(x,y)FFF,因为点3(1,)2A在椭圆上，所以2234()122x34Fkk32EEykxk………8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得2234()122x34Fkk32EEykxk所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkKxxxx即直线EF的斜率为定值，其值为12。……12分（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=21x2－ax+(a－1)lnx，1a。（1）讨论函数()fx的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1fxfxxx。(21)解：(1)()fx的定义域为(0,)。2'11(1)(1)()axaxaxxafxxaxxx2分（i）若11a即2a,则2'(1)()xfxx故()fx在(0,)单调增加。(ii)若11a,而1a,故12a,则当(1,1)xa时，'()0fx;当(0,1)xa及(1,)x时，'()0fx故()fx在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单