2009年高考试题——数学理（四川卷）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医科）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式24πSR()()()PABPAPB其中R表示球的半径如果事件AB，相互独立，那么球的体积公式34π3VR()()()PABPAPB其中R表示球的半径一、选择题：1.设集合2|5,|4210,SxxTxxx则STＡ.|75xxＢ.|35xxＣ.|53xxＤ.|75xx【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题)3,7(T),5,5(S，故选择C。解析2：由{|55},Sxx{|73}Txx故{|53}STxx，故选C．２.已知函数22log(2)()24(22axxfxxxxx当时在点处当时）连续，则常数a的值是Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。解析：由题得3222log2aa，故选择B。解析2：本题考查分段函数的连续性．由22224lim()limlim(2)42xxxxfxxx，22(2)log1faa，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知2(2)lim()4xffx，可得3a．故选B．３.复数2(12)34ii的值是Ａ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析：12591625)43)(34(43)21(2iiii，故选择A。4.已知函数()sin()()2fxxxR，下面结论错误．．的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.函数()fx的最小正周期为2B.函数()fx在区间0,2上是增函数C.函数()fx的图像关于直线0x对称D.函数()fx是奇函数【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）解析：由函数的()sin()cos()2fxxxxR可以得到函数()fx是偶函数，所以选择D．5.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，,2PAABCPAAB平面，则下列结论正确的是Ａ.PBADＢ.平面PABPBC平面w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC.直线BC∥平面PAEＤ.PDABC直线与平面所成的角为45【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作PBAG于G，因面PAB面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由EFBC//，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。解析2：设低面正六边形边长为a，则2,22ADaPAABa，由PA平面ABC可知PAAD，PA且AD，所以在RtPAE中有直线PD与平面PAE所成的角为45，故应选D。6.已知,,,abcd为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．充要条件D.既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：ba推不出acbd；但bdcbadbca，故选择B。解析2：令2,1,3,5abcd，则13(5)8acbd；由acbd可得，()abcd因为cd，则0cd，所以ab。故“ab”是“acbd”的必要而不充分条件。7.已知双曲线2221(0)2xybb的左右焦点分别为12,FF，其一条渐近线方程为yx，点0(3,)Py在该双曲线上，则12PFPF=A.12B.2C.0D.4w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析：由题知22b，故)0,2(),0,2(,123210FFy，∴0143)1,32()1,32(21PFPF，故选择C。解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程22122xy，则左、右焦点坐标分别为12(2,0),(2,0)FF，再将点0(3,)Py代入方程可求出(3,1)P，则可得120PFPF，故选C。8.如图，在半径为3的球面上有,,ABC三点，90,ABCBABC，球心O到平面ABC的距离是322，则BC、两点的球面距离是A.3B.C.43D.2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径323222234189BCr，故3BOC，所以BC、两点的球面距离为33，故选择B。解析2：过球心O作平面ABC的垂线交平面与D，,ABCBABC，则D在直线AC上，由于322OD，22322CDOCOD，所以32AC，由ABC为等腰直角三角形可得3BC，所以OBC为等边三角形，则,BC两点的球面距离是33。9.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.3716w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线2:1lx为抛物线24yx的准线，由抛物线的定义知，P到2l的距离等于P到抛物线的焦点)0,1(F的距离，故本题化为在抛物线24yx上找一个点P使得P到点)0,1(F和直线2l的距离之和最小，最小值为)0,1(F到直线1:4360lxy的距离，即25|604|mind，故选择A。解析2：如下图，由题意可知22|3106|234d10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.12万元B.20万元C.25万元D.27万元w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即已知约束条件001832133yxyxyx，求目标函数yxz35的最大值，可求出最优解为43yx，故271215maxz，故选择D。11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.188C.216D.96【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333AACA种，其中男生甲站两端的有1442223232212AACAA，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有2221122222322323242()()188ACACCACAA,选B。12.已知函数()fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xfxxfx，则5(())2ff的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.0B.12C.1D.52w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）解析：令21x，则0)21()21(21)21(21)21(21ffff；令0x，则0)0(f由(1)(1)()xfxxfx得)(1)1(xfxxxf，所以0)0())25((0)21(212335)23(35)23(2325)25(fffffff，故选择A。2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅱ卷考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13.61(2)2xx的展开式的常数项是（用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）解析：由题知61(2)2xx的通项为rrrrrxCT2626612)1(，令026r得3r，故常数项为20)1(363C。14.若⊙221:5Oxy与⊙222:()20()OxmymR相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是w【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析：由题知)0,(),0,0(21mOO，且53||5m，又21AOAO，所以有525)52()5(222mm，∴452052AB。15.如图，已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量},,{1BCBBBA，则11121,BBBCBMBABBAB05220220522)21()(,cos111BBBCBABBBMAB，故填写o90。法2：取BC中点N，连结NB1，则AN面CB1，∴NB1是1AB在面CB1上的射影，由几何知识知BMNB1，由三垂线定理得BMAB1，故填写o90。16．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射VaVVf,:，记a的象为)(af。若映射VVf:满足：对所有Vba,及任意实数,都有)()()(bfafbaf，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则0)0(fw.w.w.k.s.5.u.c.o.m②对Va设aaf2)(，则f是平面M上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m③若e是平面M上的单位向量，对Va设eaaf)(，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，Vba,，若ba,共线，则)(),(bfaf也共线。其中真命题是（写出所有真命题的序号）【考点定位】本小题考查新定义，创新题。解析：令1,0ba，由题有0)0()0(2)0(fff，故①正确；由题)(2)(babaf，)(222)()(bababfaf，即)()()(bfafbaf，故②正确；由题ebabaf)(，ebeabfaf)()(，即)()()(bfafbaf，故③不正确；由题ab，)()(0)()()()0(bfafbfafbaff，即)(),(bfaf也共线，故④正确；三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在ABC中，,AB为锐角，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且310cos2,sin510AB（I）求AB的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）若21ab，求,,abc的值。本小题主要考查同角三角函数间的关系