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2009年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)本试卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.参考公式:如果事件AB,互斥,那么()()()PABPAPB如果事件AB,相互独立,那么()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn,,,以R为半径的球体积:34π3VR一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线1yx与圆221xy的位置关系为()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【答案】B【解析】圆心(0,0)为到直线1yx,即10xy的距离1222d,而2012,选B。2.已知复数z的实部为1,虚部为2,则5iz=()A.2iB.2iC.2iD.2i【答案】A【解析】因为由条件知12zi,则55(12)5102(12)(12)5iiiiizii,所以选A。3.282()xx的展开式中4x的系数是()A.16B.70C.560D.1120【答案】【解析】设含4x的为第2616316621,()()2rrrrrrrrTCxCxx,1634r所以4r,故系数为:44621120C,选D。4.已知1,6,()2ababa,则向量a与向量b的夹角是()A.6B.4C.3D.2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】因为由条件得222,23cos16cos,abaabaab所以1cos23所以,所以5.不等式2313xxaa对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(,1][4,)B.(,2][5,)C.[1,2]D.(,1][2,)【答案】A【解析】因为24314313xxxxaa对对任意x恒成立,所以22343041aaaaaa即,解得或6.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为()A.891B.2591C.4891D.6091w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】因为总的滔法415,C而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2;1,2,1;2,1,1三类,故所求概率为1121212116546546544154891CCCCCCCCCC7.设ABC的三个内角,,ABC,向量(3sin,sin)ABm,(cos,3cos)BAn,若1cos()ABmn,则C=()A.6B.3C.23D.56w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】3sincoscossin3sin()1cos()mnABABABAB,3sin1cos3sincos12sin16ABCCCCCC所以即,()152sin(62663CCC),由题,即8.已知22lim()21xxaxbx,其中,abR,则ab的值为()A.6B.2C.2D.6【答案】D【解析】222(2)()2(2)()limlimlim21111xxxbaxabxaxaxbxbaxabxbxxxx20,2,4,2(4)6()2aababab则解得故9.已知二面角l的大小为050,P为空间中任意一点,则过点P且与平面和平面所成的角都是025的直线的条数为()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.2B.3C.4D.5w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】B【解析】AFE是度数为050的二面角的一个平面角,FGAFE为的平分线,当过P的直线与FG平行时,满足条件,当过点p的直线与AD平行,也是满足条件直线,与AD直线类似,过点的直线与BE平行也是满足条件得共有3条。10.已知以4T为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]mxxfxxx,其中0m。若方程3()fxx恰有5个实数解,则m的取值范围为()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.158(,)33B.15(,7)3C.48(,)33D.4(,7)3【答案】B【解析】因为当(1,1]x时,将函数化为方程2221(0)yxym,实质上为一个半椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当(1,3]x得图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像,由图易知直线3xy与第二个椭圆222(4)1(0)yxym相交,而与第三个半椭圆222(4)1(0)yxym无公共点时,方程恰有5个实数解,将3xy代入222(4)1(0)yxym得2222(91)721350,mxmxm令229(0)(1)8150tmttxtxt则由2215(8)415(1)0,15,915,03ttttmmm得由且得同样由3xy与第二个椭圆222(8)1(0)yxym由0可计算得7m综上知15(,7)3m二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案写在答题卡相应位置上.11.若3AxRx,21xBxR,则AB.【答案】(0,3)【解析】因为|33,|0,AxxBxx所以(0,3)ABI12.若1()21xfxa是奇函数,则a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】12【解析】解法112(),()()2112xxxfxaafxfx21121()21122112122xxxxxxaaaa故13.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).【答案】36【解析】分两步完成:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有21142122CCCA;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有33A所以满足条件得分配的方案有211342132236CCCAA14.设12a,121nnaa,21nnnaba,*nN,则数列nb的通项公式nb=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】:2n+1【解析】由条件得111112222222111nnnnnnnnaaabbaaa且14b所以数列nb是首项为4,公比为2的等比数列,则11422nnnb15.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc,若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc,则该双曲线的离心率的取值范围是.解法1,因为在12PFF中,由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF则由已知,得1211acPFPF,即12aPFcPF,且知点P在双曲线的右支上,设点00(,)xy由焦点半径公式,得1020,PFaexPFexa则00()()aaexcexa解得0()(1)()(1)acaaexecaee由双曲线的几何性质知0(1)(1)aexaaee则,整理得2210,ee解得2121(1,)ee,又,故椭圆的离心率(1,21)e解法2由解析1知12cPFPFa由双曲线的定义知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即,由椭圆的几何性质知22222,,20,aPFcacacacaca则既所以2210,ee以下同解析1.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)设函数2()sin()2cos1468xxfx.(Ⅰ)求()fx的最小正周期.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)若函数()ygx与()yfx的图像关于直线1x对称,求当4[0,]3x时()ygx的最大值.(16)(本小题13分)解:(Ⅰ)()fx=sincoscossincos46464xxx=33sincos2424xx=3sin()43x故()fx的最小正周期为T=24=8(Ⅱ)解法一:在()ygx的图象上任取一点(,())xgx,它关于1x的对称点(2,())xgx.由题设条件,点(2,())xgx在()yfx的图象上,从而()(2)3sin[(2)]43gxfxx=3sin[]243x=3cos()43x当304x时,23433x,因此()ygx在区间4[0,]3上的最大值为max33cos32g解法二:因区间4[0,]3关于x=1的对称区间为2[,2]3,且()ygx与()yfx的图象关于x=1对称,故()ygx在4[0,]3上的最大值为()yfx在2[,2]3上的最大值由(Ⅰ)知()fx=3sin()43x当223x时,6436因此()ygx在4[0,]3上的最大值为max33sin62g.17.(本小题满分13分,(Ⅰ)问7分,(Ⅱ)问6分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:(Ⅰ)两种大树各成活1株的概率;(Ⅱ)成活的株数的分布列与期望.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(17)(本小题13分)解:设kA表示甲种大树成活k株,k=0,1,2lB表示乙种大树成活l株,l=0,1,2则kA,lB独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有2221()()()33kkkkPAC,2211()()()22llllPBC.据此算得01()9PA,14()9PA,24()9PA.01()4PB,11()2PB,21()4PB.(Ⅰ)所求概率为2111412()()()929PABPAPB.(Ⅱ)解法一:的所有可能值为0,1,2,3,4,且0000111(0)()()()9436PPABPAPB,011011411(1)()()92946PPABPAB,021120114141(2)()()()949294PPABPABPAB=1336,122141411(3)()()94923PPABPAB.22411(4)()949PPAB.综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而,的期望为111311012343663639E73(株)解法二:分布列的求法同上令12,分别表示甲乙两种树成活的株数,则12::21B(2,
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