【数学】2010年高考试题——数学（北京卷）（理）

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）解析本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）集合2{03},{9}PxZxMxRx，则PMI=(A){1,2}(B){0,1,2}(C){x|0≤x3}(D){x|0≤x≤3}1，B．解析：0,1,2P，3,3M，因此PM0,1,2（2）在等比数列na中，11a，公比1q.若12345maaaaaa，则m=（A）9（B）10（C）11（D）122，C．解析：2341010123451maaaaaaqqqqqaq，因此有11m（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为3，C．解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）8289AA（B）8289AC（C）8287AA（D）8287AC4，A．解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有29A种排法，因此一共有8289AA种排法。（5）极坐标方程（-1）（）=0（0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线5，C．解析：原方程等价于1或，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。（6）若a,b是非零向量，“a⊥b”是“函数()()()fxxabxba为一次函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6，B．解析：222()()()()()fxxabxbaabxbaxab，如ab，则有0ab，如果同时有ba，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果()fx为一次函数，则0ab，因此可得ab，故该条件必要。（7）设不等式组110330530xyxyxy9表示的平面区域为D，若指数函数y=xa的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是（A）(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,]7，A．解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数xya的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点。(8)如图，正方体ABCD-1111ABCD的棱长为2，动点E、F在棱11AB上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，1AE=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关8，D．解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，EFQ的面积永远不变，为面11ABCD面积的14，而当P点变化时，它到面11ABCD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在复平面内，复数21ii对应的点的坐标为。9，（-1，1）.解析：22(1)(1)11(1)(1)iiiiiiiii（10）在△ABC中，若b=1，c=3，23C，则a=。10，1。解析：3sin12sin123CBbc，因此,66BAB，故1ab（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝。若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。11，0.030，3解析：由所有小矩形面积为1不难得到0.030a，而三组身高区间的人数比为3:2:1，由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人。（12）如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝。12，5，27解析：首先由割线定理不难知道ABACADAE，于是8,5AEDE，又BDAE，故BE为直径，因此90C，由勾股定理可知22228CEAEAC，故27CE（13）已知双曲线22221xyab的离心率为2，焦点与椭圆221259xy的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。13，4,0，3yx解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为4,0，又双曲线离心率为2，即2,4cca，故2,23ab，渐近线为3byxxa（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P（x，y）的轨迹方程是()yfx，则()fx的最小正周期为；()yfx在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。14，4，1解析：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动14个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：因此不难算出这块的面积为1三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数(x)f22cos2sin4cosxxx。（Ⅰ）求()3f的值；（Ⅱ）求()fx的最大值和最小值。15（I）2239()2cossin4cos12.333344f（2）2222()2(2cos1)(1cos)4cos3cos4cos1273(cos),33fxxxxxxxxR因为cos1,1,x所以当cos1x时，()fx取最大值6；当2cos3x时，取最小值73。PABCPPP（16）（本小题共14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。16证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=12AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0，0，0），A（2，2，0），D（2，0，0），E（0，0，1），F（22，22，1）。所以CF=（22，22，1），BE=（0，－2，１），DE＝（－2，0，１）。所以CF·BE=0-1+1=0，CF·DE=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，CF=（22，22，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n=（x,y,z）,则n·BA=0，n·BE=0。即(,,)(2,0,0)0(,,)(0,2,1)0xyzxyz所以x=0，且z=2y。令y=1，则z=2。所以n=（0,1,2），从而cos（n，CF）=32nCFnCF因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为6。(17)(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123P6125ab24125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。17解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知1234(),(),().5PAPApPAq（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“0”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是61191(0)1.125125P（II）由题意可知，12312316(0)()(1)(1),5125424(3)().5125PPAAApqpPAAApq整理得pq=32,55q。（III）由题意知，123123123(1)()()()411(1)(1)(1)(1)55537.125aPPAAAPAAAPAAApqpqpq(2)1(0)(1)(3)58.125bPPPP0(0)1(1)2(2)3(3)9.5EPPPP(18)(本小题共13分)已知函数2()ln(1)(0)2kfxxxxk(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，(1)f)处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。18解：（I）当2k时，21()ln(1),'()12.1fxxxxfxxx由于3(1)ln(2),'(1),2ff所以曲线()1,(1))yfxf在点（处的切线方程为3ln2(1)2yx。即322ln230xy（II）(1)'(),(1,).1xkxkfxxx当0k时，'().1xfxx因此在区间(1,0)上，'()0fx；在区间(0,)上，'()0fx；所以()fx的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,)；当01k时，(1)'()01xkxkfxx，得1210,0kxxk;因此，在区间1,0和1(,)kk上，'()0fx；在区间1(0,)kk上，'()0fx；即函数()fx的单调递增区间为1,0和1(,)kk，单调递减区间为1(0,)kk；当1k时，2'()1xfxx.()fx的递增区间为(1,)当1k时，由(1)'()01xkxkfxx，得1210,(1,0)kxxk；因此，在区间1(1,)kk和(0,)上，'()0fx，在区间1(,0)kk上，'()0fx；即函数()fx的单调递增区间为11,kk和(0,)，单调递减区间为1(,0)kk。（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。设P点坐标为,xy，则11,11APB