数理统计试题及答案

一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体)3,20(~NX的容量分别为10，15的两独立样本均值差~YX________；2、设1621,...,,XXX为取自总体)5.0,0(~2NX的一个样本，若已知0.32)16(201.0,则}8{1612iiXP=________；3、设总体),(~2NX，若和2均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为),(XX，则的值为________；4、设nXXX,...,,21为取自总体),(~2NX的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于2检验的拒绝域为2≤)1(21n，则相应的备择假设1H为________；5、设总体),(~2NX，2已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:H,01:H，拒绝域是________。1、)210(，N；2、0.01；3、nSnt)1(2；4、202；5、05.0zz。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设321,,XXX是取自总体X的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。（A）)(321XXX（B）321XXX（C）3211XXX（D）231)(31iiX2、设nXXX,...,,21为取自总体),(~2NX的样本，X为样本均值，212)(1XXnSinin，则服从自由度为1n的t分布的统计量为（）。（A））Xn(（B）nSXn)(（C））Xn(1（D）nSXn)(13、设nXXX,,,21是来自总体的样本，2)(XD存在，212)(11XXnSini,则（）。（A）2S是2的矩估计（B）2S是2的极大似然估计（C）2S是2的无偏估计和相合估计（D）2S作为2的估计其优良性与分布有关4、设总体),(~),,(~222211NYNX相互独立，样本容量分别为21,nn，样本方差分别为2221,SS，在显著性水平下，检验2221122210:,:HH的拒绝域为（）。（A）)1,1(122122nnFss（B）)1,1(12212122nnFss（C）)1,1(212122nnFss（D）)1,1(21212122nnFss5、设总体),(~2NX，2已知，未知，nxxx,,,21是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平05.0时，检验假设0.5:,0.5:10HH的结果是（）。（A）不能确定（B）接受0H（C）拒绝0H（D）条件不足无法检验1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：其他xxxf0,0,2)(2，其中未知参数0，nXX,,1是来自X的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。解：(1)322)()(022xdxxdxfxXE，令32)ˆ(XXE，得X23ˆ为参数的矩估计量。(2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212nixxxxLiniinnniii，，而)(L是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为},,,max{ˆ21nXXX。四、（本题14分）设总体),0(~2NX，且1021,xxx是样本观察值，样本方差22s，（1）求2的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知)1(~222XY，求32XD的置信水平为0.95的置信区间；（70.2)9(2975.0，023.19)9(2025.0）。解：（1）2的置信水平为0.95的置信区间为)9(18,)9(182975.02025.0，即为（0.9462，6.6667）；（2）32XD=2222222)]1([11DXD；由于2322XD是2的单调减少函数，置信区间为222,2，即为（0.3000，2.1137）。五、（本题10分）设总体X服从参数为的指数分布，其中0未知，nXX,,1为取自总体X的样本，若已知)2(~221nXUnii，求：（1）的置信水平为1的单侧置信下限；（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。)585.42)32(,985.44)31((210.0205.0。解：(1),1)2(2,1)2(222nXnPnXnP即的单侧置信下限为)2(22nXn；（2）706.3764585.425010162。六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~NX，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9)2.2622,(9)19.023,(9)2.700t）解：（1）检验假设H0：2=1，H1：2≠1；取统计量：2022)1(sn；拒绝域为：2≤)9()1(2975.0221n=2.70或2≥2025.022)1(n=19.023，经计算：96.1212.19)1(22022sn，由于)023.19,700.2(96.1222，故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。（2）检验假设101010：，：HH；取统计量：10/10SXt~)9(2t；拒绝域为2622.2)9(025.0tt；1028.210/2.1108.10t2.2622，所以接受0H，即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。综上，认为工厂生产正常。七、（本题10分）设4321,,,XXXX为取自总体)4,(~2NX的样本，对假设检验问题5:,5:10HH，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率。解：(1)拒绝域为96.1254/45025.0zxxz;（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6时，接受0H的概率为921.02608.12692.8}92.808.1{XP。八、（本题8分）设随机变量X服从自由度为),(nm的F分布，(1)证明：随机变量X1服从自由度为),(mn的F分布；(2)若nm，且05.0}{XP，求}1{XP的值。证明：因为),(~nmFX,由F分布的定义可令nVmUX//，其中)(~),(~22nVmU，U与V相互独立，所以),(~//1mnFmUnVX。当nm时，X与X1服从自由度为),(nn的F分布，故有}{XP}1{XP，从而95.005.01}{1}1{1}1{}1{XPXPXPXP。