【数学】2010年高考试题——数学（上海卷）（理）

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）解析重庆合川太和中学杨建一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.不等式204xx的解集是（-4,2）。解析：考查分式不等式的解法204xx等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x22.若复数12zi（i为虚数单位），则zzz6-2i。解析：考查复数基本运算zzziiii2621)21)(21(3.动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20x的距离相等，则P的轨迹方程为28yx。解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P的轨迹是以(2,0)F为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x4.行列式cossin36sincos36的值是0。解析：考查行列式运算法则cossin36sincos36=02cos6πsin3πsin6πcos3πcos5.圆22:2440Cxyxy的圆心到直线l:3440xy的距离d3。解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线3440xy距离为35424136.随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是8.2解析：考查期望定义式E=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.27.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入SS+a。8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=log(3)ax的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是（0，-2）解析：f(x)=log(3)ax的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）==726（结果用最简分数表示）解析：考查互斥事件概率公式P（AB）=267521352110．在n行n列矩阵12321234113451212321nnnnnnnnnn中，记位于第i行第j列的数为(,1,2,)ijaijn。当9n时，11223399aaaa45。解析：11223399aaaa1+3+5+7+9+2+4+6+8=4511.将直线2:0lnxyn、3:0lxnyn（*nN，2n）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为nS，则limnnS1。解析：B)1,1(nnnn所以BO⊥AC，nS=121221nnnn所以limnnS1212．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为823解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，高为362所以该四面体的体积为3283622316213113。如图所示，直线x=2与双曲线22:14y的渐近线交于1E,2E两点，记1122,OEeOEe，任取双曲线上的点P，若12,()OPaebeabR、，则a、b满足的一个等式是4ab=1解析：)1,2(),1,2(21EE12OPaebe=),22(baba，点P在双曲线上1)(4)22(22baba，化简得4ab114.以集合U=abcd，，，的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a、b都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有ABBA或，那么共有36种不同的选法。解析：列举法共有36种二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15．“24xkkZ”是“tan1x”成立的[答]（A）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：14tan)42tan(k，所以充分；但反之不成立，如145tan，所以不必要16.直线l的参数方程是x=1+2t()y=2-ttR，则l的方向向量是d可以是【答】（C）(A)(1,2)(B)(2,1)(C)(-2,1)(D)(1,-2)解析：直线l的一般方程是052yx，21k，所以C正确17.若0x是方程131()2xx的解，则0x属于区间【答】（C）(A)(23,1)(B)(12,23)(C)(13,12)(D)(0,13)解析：结合图形312131312121,3121，∴0x属于区间(13,12)18.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能【答】（D）（A）不能作出这样的三角形（B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形（D）作出一个钝角三角形解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知5:11:13::,51111131cbacba由余弦定理得0115213115cos222A，所以角A为钝角三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)24xxxxx.=020.(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN（1）证明：1na是等比数列；（2）求数列nS的通项公式，并求出n为何值时，nS取得最小值，并说明理由。（2）nS=1575()906nnn=15取得最小值解析：(1)当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；(2)由(1)知：151156nna，得151156nna，从而1575906nnSn(nN*)；解不等式SnSn1，得15265n，562log114.925n，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n15时，Sn取得最小值．21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线13AB与35AB所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）解析：(1)设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0r0.6)，S3(r0.4)20.48，所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2)当r0.3时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)AB，35(0.3,0.3,0.6)AB，设向量13AB与35AB的夹角为，则133513352cos3||||ABABABAB，所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为2arccos3．22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。若实数x、y、m满足xmym＞，则称x比y远离m.（1）若21x比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：33ab比22abab远离2abab；（3）已知函数()fx的定义域kD=x|x+kZxR24ππ｛≠，∈，∈｝.任取xD，()fx等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数()fx的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.解析：(1)(,2)(2.)x；(2)对任意两个不相等的正数a、b，有332ababab，222abababab，因为33222|2||2|()()0ababababababababab，所以3322|2||2|ababababababab，即a3b3比a2bab2远离2abab；(3)3sin,(,)44()cos,(,)44xxkkfxxxkk，性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期2T，3函数f(x)在区间(,]242kk单调递增，在区间[,)224kk单调递减，kZ，4函数f(x)的值域为2(,1]2．23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，点P的坐标为（-a，b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足1PM=(PA+PB)2,求点M的坐标；（2）设直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，交直线22:lykx于点E.若2122bkka，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆上的点Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点1P、2P满足12PP+PP=PQ,写出求作点1P、2P的步骤，并求出使1P、2P存在的θ的取值范围.解析：(1)(,)22abM；(2)由方程组122221ykxpxyab，消y得方程2222222211()2()0akbxakpxapb，因为直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，所以0，即222210akbp，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则212102221201022212xxakpxakbbpykxpakb，由方程组12ykxpykx，消y得方程(k2k1)xp，又因为2221bkak，所以2102222112202221akppxxkkakbbpykxyakb，故E为CD的中点；(3)求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点(1cos)(1sin)(,)22abE，2求出直线OE的斜率2(1sin)(1cos)bka，3由12PPPPPQ知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率2122(1cos)(1sin)bbkaka，4从而得直线CD的方程：(1sin)(1cos)(1cos)()2(1sin)2bbayxa，5将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以22(1cos)(1sin)144，化简得1sincos2，2sin()44，又0，即3444，所以2arcsin444，故的取值范围是2(0,arcsin)44．