02【数学】2010高考试题题——数学（新课标全国）（文）

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学解析重庆合川太和中学杨建一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合|2,{|4,|AxxBxxxZ，则AB（A）（0，2）（B）[0，2]（C）{0，2}（D）{0，1，2}解析：|22,{0,1,2}AxxB，0,1,2AB，选D命题意图：本题考查集合的运算及不等式解法（2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于（A）865（B）865（C）1665（D）1665解析：16(4,3),(5,12),cos,65abababab，选C命题意图：本题考查向量数量积运算与夹角（3）已知复数23(13)izi，则z=(A)14（B）12（C）1（D）2解析：2334343164(13)223iiiizii，2212zab，选B命题意图：本题考查复数的代数运算及模的定义（4）曲线3y21xx在点（1,0）处的切线方程为（A）1yx（B）1yx（C）22yx（D）22yx解析：'2y32,1,1xkyx切线方程为，选A命题意图：本题考查导数的几何意义（5）中心在远点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A）6（B）5（C）62（D）52解析：由双曲线的几何性质可得2222221552,242bcababeeaaa即，，选D命题意图：本题考查双曲线的几何性质（6）如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p（2，2），角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为解析：法一：排除法取点0,2td时,排除A、D，又当点P刚从t=0开始运动，d是关于t的减函数，所以排除B，选C法二：构建关系式x轴非负半轴到OP的角4t，由三角函数的定义可知2sin()4pyt，所以2sin()4dt，选C命题意图：考察三角函数的定义及图像(7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3a2（B）6a2（C）12a2（D）24a2（8）解析：球心在长方体对角线交点处，球半径R为对角线长一半长方体中，由对角线定理知对角线长为6a，62aR球表面积2246SRa，选B命题意图：本题以球与多面体的接切为载体考查球的表面积公式（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A）54（B）45（C）65（D）561111112233445561111111115(1)()()()()2233445566S解析：所以选D命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0），则20xfx=（A）24xxx或（B）04xxx或（C）06xxx或（D）22xxx或解析：0()2402xxfxx当时，由得()()022fxfxxx又为偶函数，时或(2)02222,40fxxxxx或即或，选B命题意图：利用函数性质解不等式（10）若cosa=-45，a是第三象限的角，则sin()4a=（A）-7210（B）7210（C）2-10（D）210解析：a是第三象限的角，23sin1cos5a则272sin()(sincos)4210a，选A命题意图：本题考查同角三角函数关系及和角正弦公式（11）已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（A）（-14，16）（B）（-14，20）（C）（-12，18）（D）（-12，20）解析：当直线z=2x-5y过点B时，min14z当直线z=2x-5y过点D（0，-4）时，max20z所以z=2x-5y的取值范围为（-14，20），选B点D的坐标亦可利用ABDC求得，进一步做出可行域命题意图：本题考查线性规划（12）已知函数f(x)=lg,01016,102xxxx若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（A）（1，10）（B）(5，6)（C）(10，12)（D）(20，24)解析：,,abc互不相等，不妨设abc()(),lglgfafbab由得，即ab=1abcc，显然1012c所以选C命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）圆心在原点上与直线20xy相切的圆的方程为-----------。解析：圆心到直线20xy的距离0022,22dr圆半径圆的方程为x2+y2=2命题意图：本题考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系（14）设函数()yfx为区间0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有01fx，可以用随机模拟方法计算由曲线()yfx及直线0x，1x，0y所围成部分的面积，先产生两组i每组N个，区间0,1上的均匀随机数1,2.....nxxx和1,2.....nyyy，由此得到V个点,1,2....xyiN。再数出其中满足1()(1,2.....)yfxiN的点数1N，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___1NN________(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的___①②③⑤____(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱解析：三棱柱倒置，底面正对时的正视图为三角形，其他容易判断命题意图：本题考查空间图形三视图(16)在ABC中，D为BC边上一点，3BCBD,2AD,135ADB.若2ACAB,则BD=_____解析：设BD=x，则CD=2x在22ABAD+BD-2ADBDCOSADBABD2中，由余弦定理得222xx在22ACAD+DC-2ADDCCOSADCADC2中，由余弦定理得2244xx又222222,244424,410ACABxxxxxx即，解得25x故25BD命题意图：本题在解三角形中考查余弦定理三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）设等差数列na满足35a，109a。（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求na的前n项和nS及使得nS最大的序号n的值。解：（1）由am=a1+（n-1）d及a1=5，aw=-9得112599{adad解得192{ad数列{am}的通项公式为an=11-2n。……..6分(2)由(1)知Sm=na1+(1)2nnd=10n-n2。因为Sm=-(n-5)2+25.所以n=5时，Sm取得最大值。……12分（18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。（Ⅰ）证明：平面PAC平面PBD;（Ⅱ）若6AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。解：(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD.……..6分(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=6.所以HA=HB=3.因为APB=ADR=600所以PA=PB=6,HD=HC=1.可得PH=3.等腰梯形ABCD的面积为S=12ACxBD=2+3.……..9分所以四棱锥的体积为V=13x（2+3）x3=3233……..12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（19）（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：解（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500.……4分(2)22500(4027030160)9.96720030070430k由于9.9676.635所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.……8分（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好.……12分（20）（本小题满分12分）设1F,2F分别是椭圆E：2x+22yb=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过1F的直线l与E相交于A、B两点，且2AF，AB，2BF成等差数列。（Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值。解：（1）由椭圆定义知22F+F又2AB=AFFAB得（2）L的方程式为y=x+c,其中21cb设1111(),B()Axx，y，y,则A，B两点坐标满足方程组222y=x+cx1yb化简得222(1)2120.bxcxb则2121222212,.11cbxxxxbb因为直线AB的斜率为1，所以21xx即21423xx.则22421212222284(1)4(12)8()49(1)11bbbxxxxbbb解得22b.（21）本小题满分12分）设函数21xxfxeax（Ⅰ）若a=12，求xf的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时xf≥0，求a的取值范围解（Ⅰ）12a时，21()(1)2xfxxex，'()1(1)(1)xxxfxexexex。当,1x时'()fx;当1,0x时，'()0fx;当0,x时，'()0fx。故()fx在,1，0,单调增加，在（-1，0）单调减少。（Ⅱ）()(1)afxxxax。令()1agxxax，则'()xgxea。若1a，则当0,x时，'()gx，()gx为减函数，而(0)0g，从而当x≥0时()gx≥0，即()fx≥0.若a，则当0,lnxa时，'()gx，()gx为减函数，而(0)0g，从而当0,lnxa时()gx＜0，即()fx＜0.综合得a的取值范围为,1（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧ACBD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）ACE=BCD。（Ⅱ）2BC=BExCD。解:（Ⅰ）因为ACBD,所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC所以ACEBCD.……5分（Ⅱ）因为ECBCDB,EBCBCD,所以BDCECB,故BCCDBEBC.即2BCBECD.……10分（2