【数学】2011年高考试题——理（广东卷）解析版

绝密★启用前试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．线性回归方程ybxa中系数计算公式121()()()niiiniixxyybxx，aybx，其中x，y表示样本均值．n是正整数，则1221()()nnnnnnababaababb．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足(1)2iz，其中i为虚数单位，则zA．1iB．1iC．22iD．22i1．（B）．22(1)11(1)(1)iziiii2．已知集合{(,)|,Axyxy为实数，且221}xy，{(,)|,Bxyxy为实数，且}yx，则AB的元素个数为A．0B．1C．2D．32．（C）．AB的元素个数等价于圆221xy与直线yx的交点个数，显然有2个交点3．若向量,,abc满足a∥b且ac，则(2)cabA．4B．3C．2D．03．（D）．依题意得ca，cb，则(2)20cabcacb4．设函数()fx和()gx分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．()()fxgx是偶函数B．()()fxgx是奇函数C．()()fxgx是偶函数D．()()fxgx是奇函数4．（A）．由()fx是偶函数、()gx是奇函数，得()fx和()gx都是偶函数，所以()()fxgx与()()fxgx都是偶函数，()()fxgx与()()fxgx的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy≤≤≤≤给定．若(,)Mxy为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOMOA的最大值为A．42B．32C．4D．35．（C）．2zxy，即2yxz，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2yxz经过点(2,2)时，z取得最大值，max2224z6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．12B．35C．23D．346．（D）．乙获得冠军的概率为111224，则甲队获得冠军的概率为1314432正视图图13侧视图图2211211俯视图图37．如图1~3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A．63B．93C．123D．1837．（B）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3的四棱柱，易求得平行四边形的高为3，则33393VSh8．设S是整数集Z的非空子集，如果,abS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的．若,TV是Z的两个不相交的非空子集，TVZ，且,,abcT，有abcT；,,xyzV，有xyzV，则下列结论恒成立的是A．,TV中至少有一个关于乘法是封闭的B．,TV中至多有一个关于乘法是封闭的C．,TV中有且只有一个关于乘法是封闭的D．,TV中每一个关于乘法都是封闭的8．（A）．若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13题）9．不等式13xx≥0的解集是．9．[1,)．13xx≥01x≥3x2(1)x≥2(3)xx≥110．72()xxx的展开式中，4x的系数是（用数字作答）10．84．72()xxx的通项7821772()(2)rrrrrrrTxCxCxx，由824r得2r，则227(2)84C11．等差数列{}na前9项的和等于前4项的和．若11a，40kaa，则k．11．10．方法1：由94SS得93646dd，求得16d，则4111(1)()13()066kaak，解得10k方法2：由94SS得567890aaaaa，即750a，70a，即104720aaa，即10k12．函数32()31fxxx在x处取得极小值．12．2．2()363(2)fxxxxx，令()0fx得0x或2x，显然当0x时()0fx；当02x时()0fx；当2x时()0fx，函数32()31fxxx在2x处取得极小值13．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．13．185．设父亲的身高为xcm，儿子的身高为ycm，则根据上述数据可得到如下表格：x173170176182y170176182？图4COPBA上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176xy12221()()00361033()niiiniixxyybxx，3aybx线性回归方程3yx，所以当182x时，185y，即他孙子的预测身高为185cm．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cossinxy(0)≤和254xtyt(t)R，它们的交点坐标为___________．14．25(1,)5．5cossinxy表示椭圆2215xy(5501)xy且，254xtyt表示抛物线245yx22221(5501)5450145xyxyxxxyx且或5x（舍去），又因为01y，所以它们的交点坐标为25(1,)515．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于,AB，且7PB，C是圆上一点使得5BC，BACAPB，则AB___________．15．35．由弦切角定理得PABACB，又BACAPB，则△PAB∽△ACB，则PBABABBC，235ABPBBC，即35AB三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36fxx，xR．（1）求5()4f的值；（2）设,0,2，10(3)213f，6(32)5f，求cos()的值．16．解：（1）515()2sin()2sin243464f（2）110(3)2sin[(3)]2sin232613f，即5sin1316(32)2sin[(32)]2sin()3625f，即3cos5∵,0,2，∴212cos1sin13，24sin1cos5∴1235416cos()coscossinsin1351356517．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,xy的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,xy满足175x且75y时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a件，则98145a，解得35a所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145（件）（3）可能的取值为0，1，223253(0),10CPC1123256(1),10CCPC22251(2),10CPC∴的分布列为：012P103106101∴3614012.1010105E图5CDPBAEFCDPBAEFH18．（本小题满分13分）如图5，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且60DAB，2PAPD，2PB，,EF分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD平面DEF；（2）求二面角PADB的余弦值．18．（1）证明：取AD的中点H，连接,,PHBHBD∵PAPD，∴ADPH∵在边长为1的菱形ABCD中，60DAB∴△ABD是等边三角形∴ADHB，PHHBH∴AD平面PHB∴ADPB∵,EF分别是BC,PC的中点∴EF∥PB，HB∥DE∴ADDE，ADEF，DEEFE∴AD平面DEF（2）解：由（1）知PHAD，HBAD∴PHB是二面角PADB的平面角易求得73,22PHBH∴222733421442cos2773212222PHHBPBPHBPHHB∴二面角PADB的余弦值为21719．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(5)4xy，22(5)4xy中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点3545(,)55M，(5,0)F，且P为L上动点，求MPFP　　的最大值及此时点P的坐标．19．解：（1）设(5,0),(5,0)FF，圆C的半径为r，则(2)(2)425CFCFrr　　　∴C的圆心轨迹L是以,FF为焦点的双曲线，2a，5c，1b∴C的圆心轨迹L的方程为2214xy（2）223545(5)()255MPFPMF　　∴MPFP　　的最大值为2，此时P在MF的延长线上，如图所示，P必在L的右支上，且5Px，0Py直线MF的斜率2k:225MFyx2214225xyyx215325280xx(3514)(56)0xx1214565,155xxxy12341234567891012345123456789Oxy12341234567891012345123456789OMFPP∵5Px，∴655Px，255Py∴MPFP　　的最大值为2，此时P为6525(,)5520．（本小题满分14分）设0b，数列{}na满足1ab，11