【数学】2011年高考试题——理（安徽卷）解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。4．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式：如果事件A与B互斥，椎体体积13VSh，其中S为椎体的底面积，那么()()PABPAPBh为椎体的高.如果事件A与B相互独立，那么()()PABPAPB第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设i是虚数单位，复数aii为纯虚数，则实数a为（A）2(B)2(C)(D)（1）A【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题.【解析】设()aibibRi=，则1+(2)2aibiibbi，所以1,2ba.故选A.（2）双曲线xy的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)4（2）C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】xy可变形为22148xy，则24a，2a，24a.故选C.（3）设()fx是定义在R上的奇函数，当x时，()fxxx，则()f（A）(B)（Ｃ）１（Ｄ）３(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3ff.故选A.（４）设变量,xy满足1,xy则2xy的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１（Ｂ）２，－２（Ｃ）１，－２（Ｄ）２，－１（4）B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.【解析】不等式1xy对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2xy的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.(5)在极坐标系中，点(,)到圆2cos的圆心的距离为（A）2(B)249(C)219（D)3(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.【解析】极坐标(,)化为直角坐标为(2cos,2sin)33，即(1,3).圆的极坐标方程2cos可化为22cos，化为直角坐标方程为222xyx，即22(1)1xy，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式22(11)(30)3d.故选D.(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图（A）48(B)32+8(C)48+8(D)80(6)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为12244242，四个侧面的面积为44221724817，所以几何体的表面积为48817.故选C.(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（A）所有不能被2整除的数都是偶数（B）所有能被2整除的数都不是偶数（C）存在一个不能被2整除的数是偶数（D）存在一个能被2整除的数不是偶数（7）D【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题.【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定.（8）设集合1,2,3,4,5,6,A4,5,6,7,B则满足SA且SB的集合S的个数为（A）57（B）56（C）49（D）8（8）B【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组合知识.属中等难度题.【解析】集合A的所有子集共有6264个，其中不含4,5,6,7的子集有328个，所以集合S共有56个.故选B.（9）已知函数()sin(2)fxx，其中为实数，若()()6fxf对xR恒成立，且()()2ff，则()fx的单调递增区间是（A）,()36kkkZ（B）,()2kkkZ（C）2,()63kkkZ（D）,()2kkkZ（9）C【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若()()6fxf对xR恒成立，则()sin()163f，所以,32kkZ，,6kkZ.由()()2ff，（kZ），可知sin()sin(2)，即sin0，所以(21),6kkZ，代入()sin(2)fxx，得()sin(2)6fxx，由3222262kxk剟，得263kxk剟，故选C.(10)函数()()mnfxaxxg在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是（A）1,1mn(B)1,2mn(C)2,1mn(D)3,1mn(10)B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2mn，()()()fxaxxnxxxg，则()()fxaxx，由()()fxaxx可知，121,13xx，结合图像可知函数应在10,3递增，在1,13递减，即在13x取得最大值，由()()fag，知a存在.故选B.第II卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是.(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.【解析】由算法框图可知(1)1232kkTk，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T105，所以输出的k值为15.（12）设()xaaxaxaxL，则.（12)0【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.【解析】101110102121(1)aCC，111011112121(1)aCC，所以aaCC.（13）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且a，2b，则a与b的夹角为.(13)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.【解析】26abab，则2226aabb，即221226ab，1ab，所以1cos,2ababab，所以,60ab.（14）已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________（14)153【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.【解析】设三角形的三边长分别为4,,4aaa，最大角为，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120aaaaa，则10a，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为1610sin1201532S.（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)xy为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线（15)①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.【解析】令12yx满足①，故①正确；若2,2kb，22yx过整点（－1,0），所以②错误；设ykx是过原点的直线，若此直线过两个整点1122(,),(,)xyxy，则有11ykx，22ykx，两式相减得1212()yykxx，则点1212(,)xxyy也在直线ykx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移ykx得对于ykxb也成立，所以③正确；k与b都是有理数,直线ykxb不一定经过整点，④错误；直线2yx恰过一个整点，⑤正确.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.（16）(本小题满分12分)设()1xefxax*，其中a为正实数（Ⅰ）当a43时，求()fx的极值点；（Ⅱ）若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围。（17）（本小题满分12分）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，1,2,OAODOABV,△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。（Ⅰ）证明直线BC∥EF；（2）求棱锥F—OBED的体积.（18）（本小题满分13分）在数1和100之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作nT，再令,lgnnaT1n≥.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设1tantan,nnnbaa求数列{}nb的前n项和nS.（19）（本小题满分12分）[来源:]（Ⅰ）设1,1,xy证明11xyxyxyx，（Ⅱ）1abc，证明loglogloglogloglogabcbcabcaabc.（20）（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,ppp,,ppp，假设,,ppp互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,qqq，其中,,qqq是,,ppp的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；（Ⅲ）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。（21）（本小题满分13分）设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，点Q满足BQQAuuuruur，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QMMPuuuruuur,求点P的轨迹方程。