【数学】2011年高考试题——理（山东卷）解析版

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。（1）设集合2{60}Mxxx，{13}Nxx≤≤，则MNA.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]解析：{32}Mxx，[1,2)MN，答案应选A。（2）复数2(2izii为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：22(2)34255iiizi对应的点为34(,)55在第四象限，答案应选D.（3）若点(,9)a在函数3xy的图象上，则tan6a的值为A.0B.33C.1D.3解析：2393a，2a，tantan363a，答案应选D.（4）不等式5310xx≥的解集是A.[5,7]B.[4,6]C.(,5][7,)D.(,4][6,)解析：当5x时，原不等式可化为2210x≥，解得6x≥；当35x≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x时，原不等式可化为2210x≥，解得4x≤.综上可知6x≥，或4x≤，答案应选D。另解1：可以作出函数53yxx的图象，令5310xx=可得4x=或6x，观察图像可得6x≥，或4x≤可使5310xx≥成立，答案应选D。另解2：利用绝对值的几何意义，53xx表示实数轴上的点x到点3x与5x的距离之和，要使点x到点3x与5x的距离之和等于10，只需4x=或6x，于是当6x≥，或4x≤可使5310xx≥成立，答案应选D。（5）对于函数()yfx，xR，“()yfx的图象关于y轴对称”是“()yfx是奇函数”的A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件解析：若()yfx是奇函数，则()yfx的图象关于y轴对称；反之不成立，比如偶函数()yfx，满足()yfx的图象关于y轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。（6）若函数()sin(0)fxx在区间[0,]3上单调递增，在区间[,]32上单调递减，则A.3B.2C.32D.23解析：函数()sin(0)fxx在区间[0,]2上单调递增，在区间3[,]22上单调递减，则23，即32，答案应选C。另解1：令[2,2]()22xkkkZ得函数()fx在22[,]22kkx为增函数，同理可得函数()fx在223[,]22kkx为减函数，则当0,23k时符合题意，即32，答案应选C。另解2：由题意可知当3x时，函数()sin(0)fxx取得极大值，则)03f，即cos03，即()32kkZ，结合选择项即可得答案应选C。另解3：由题意可知当3x时，函数()sin(0)fxx取得最大值，则2()32kkZ，36()2kkZ，结合选择项即可得答案应选C。（7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybxa中的ˆb为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元解析：由题意可知3.5,42xy，则429.43.5,9.1,aa9.469.165.5y，答案应选B。（8）已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线均和圆22:650Cxyx相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为A.22154xyB.22145xyC.22136xyD.22163xy解析：圆22:(3)4Cxy，3,c而32bc，则22,5ba，答案应选A。（9）函数2sin2xyx的图象大致是解析：函数2sin2xyx为奇函数，且12cos2yx，令0y得1cos4x，由于函数cosyx为周期函数，而当2x时，2sin02xyx，当2x时，2sin02xyx，则答案应选C。（10）已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x≤时，3()fxxx，则函数()fx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为A.6B.7C.8D.9解析：当02x≤时32()(1)fxxxxx，则(0)(1)0ff，而()fx是R上最小正周期为2的周期函数，则(2)(4)(6)(0)0ffff，(3)(5)(1)0fff，答案应选B。(11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真，命题的个数是A.3B.2C.1D.0解析：①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，答案选A。（12）设1234,,,AAAA是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()AAAAR,1412()AAAAR,且112，则称34,AA调和分割12,AA，已知平面上2xA.Oy42xB.Oy42xC.Oy42xD.Oy4正（主）视图俯视图的点,CD调和分割点,AB，则下面说法正确的是A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上解析：根据题意可知112cd，若C或D是线段AB的中点，则12c，或12d，矛盾；若C,D可能同时在线段AB上，则01,01,cd则112cd矛盾，若C,D同时在线段AB的延长线上，则1,1cd，1102cd，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选D。二、填空题：本大题共4小题·，每小题4分，共16分。（13）执行右图所示的程序框图，输入2,3,5lmn，则输出的y的值是。解析：1406375278,y278105173,17310568yy。答案应填：68.（14）若62()axx展开式的常数项为60，则常数a的值为。解析：62()axx的展开式6162()kkkkaTCxx636()kkCax，令630,2,kk226()1560,4Caaa，答案应填：4.（15）设函数()(0)2xfxxx，观察：1()()2xfxfxx，21()(())34xfxffxx，32()(())78xfxffxx，43()(())1516xfxffxx，……根据上述事实，由归纳推理可得：当*nN，且2n≥时，1()(())nnfxffx。解析：2122()(())(21)2xfxffxx，3233()(())(21)2xfxffxx，开始输入非负整数l，m，n2220lmn702115ylmn105y105y105yy输出y结束4344()(())(21)2xfxffxx，以此类推可得1()(())(21)2nnnnxfxffxx。答案应填：(21)2nnxx。16.已知函数()log(0,afxxxba且1)a。当234ab时函数()fx的零点为0(,1)(*)xnnnN，则n。解析：根据(2)log22log230aafba，(3)log32log340aafba，而函数()fx在(0,)上连续，单调递增，故函数()fx的零点在区间(2,3)内，故2n。答案应填：2.三、解答题：本大题共6小题，共74分。17.（本小题满分12分）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cos2cos2cosACcaBb，（Ⅰ）求sinsinCA的值；（Ⅱ）若1cos,24Bb，求ABC的面积S。解：（Ⅰ）在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb及正弦定理可得cos2cos2sinsincossinACCABB，即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB则sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCBsin()2sin()ABCB，而ABC，则sin2sinCA，即sin2sinCA。另解1：在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb可得cos2cos2coscosbAbCcBaB由余弦定理可得22222222222222bcaabcacbacbcaac，整理可得2ca，由正弦定理可得sin2sinCcAa。另解2：利用教材习题结论解题，在ABC中有结论coscos,coscos,coscosabCcBbcAaCcaBbA.由cos2cos2cosACcaBb可得cos2cos2coscosbAbCcBaB即coscos2cos2cosbAaBcBbC，则2ca，由正弦定理可得sin2sinCcAa。（Ⅱ）由2ca及1cos,24Bb可得22222242cos44,caacBaaaa则1a，2c，S21115sin121cos224acBB，即154S。（18）（本题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E。解析：（Ⅰ）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,,DEF,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件,,DEF，根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获胜的概率为()()()()PPDEFPDEFPDEFPDEF()()()()()()()()()()()()PDPEPFPDPEPFPDPEPFPDPEPF0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55.（Ⅱ）依题意可知0,1,2,3，(0)()()()()(10.6)(10.5)(10.5)0.1PPDEFPDPEPF；(1)()()()PPDEFPDEFPDEF0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35;(2)()()()PPDEFPDEFPDEF0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4;(3)()0.60.50.50.15PPDEF.故的分布列为0123P0.10.350.40.15故00.110.3520.430.151.6E.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，090ACB，EA平面ABCD，//EFAB，//FGBC，//EGAC，2ABEF．（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：//GM平面ABFE；（Ⅱ）若2ACBCAE，求二面角ABFC的大小．几何法：证明：（Ⅰ）//EFAB，2ABE