立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是()解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PEAC；C中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF成π4角，显然不满足PEAC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为锐角，显然也不满足PEAC．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C．(3)正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心)．(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为233的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为233的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．ABCDD1C1B1A1PNABCDD1C1B1A1MGEHFABCDD1C1B1A1PABCDD1C1B1A1EFP(1)(2)(3)(4)PPPPSCDSCDSCDSCDA．B．C．D．ABCDEFGPOMNS【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(D)A．A直线B．圆C．双曲线D．抛物线变式：若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为“P到直线BC与直线C1D1的距离之比为1：2(或2：1)”，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆(双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是(A)A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支解：设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面α的交线上，故选A．(3)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M在棱AB上，且AM=13，点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹为抛物线．(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为π6．【例4】(04重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：(D)【例5】四棱锥P-ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是()A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分分析：∵AD⊥面PAB，BC⊥平面PAB∴AD∥BC且AD⊥PA，CB⊥PB∵∠APD=∠CPB∴tanAPD=tanCPB∴ADPA=CBPB∴PB=2PA在平面APB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(-3，0)、B(3，0)，设P(x，y)(y≠0)，则(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2](y≠0)即(x+5)2+y2=16(y≠0)∴P的轨迹是(B)ABCPABCPABCPABCPABCDABCDD1C1B1A1PlABCαABCDD1C1B1A1MPABCDD1C1B1A1MN3323PABCD立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B1C1面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）．A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体ABCDABCD1111的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线AD11的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）．A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆简析在正方体ABCDABCD1111中，过P作PFAD，过F作FEA1D1，垂足分别为F、E，连结PE．则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．6．在正方体ABCDABCD1111中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，则动点P的轨迹为__________．简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上．而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，则动点P的轨迹为_______________．答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）8．若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PCAC，则动点C在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）9．若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：（D）AAAAPPPPBCBCBCBCABCD简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在ABC的内角平分线上．现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在ABC的内角平分线与AB之间的区域内．只能选D．10．已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCDABCD1111的棱长为1，在正方体的侧面BCCB11上到点A距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．简析以B为圆心，半径为33且圆心角为2的圆弧，长度为36．12．已知长方体ABCDABCD1111中，ABBC63,，在线段BD、AC11上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且PMMQ2，则M点轨迹图形的面积是．提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCDABCD1111中，长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163．14．已知平面//平面，直线l，点lP，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线l的距离为29的点的轨迹是（）A．一个圆B．两条平行直线C．四个点D．两个点简析：如图，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4．在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上．又在内到直线l的距离等于29的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于32174)29(22，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C．16．在四棱锥ABCDP中，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPBAPD，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分简析：因为AD面PAB，BC面PAB，所以AD//BC，且90CBPDAP．又8BC,4AD,CPBAPD，可得CPBtanPBCBPAADAPDtan，即得2ADCBPAPB在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）．设点P（x，y），则有2y)