人教版九年级上数学：第二十四章-圆的综合解题技巧

解决圆综问题常用到的定理：（1）弧、弦、圆心角定理弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（2）圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（4）切线定理切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（5）切线长定理切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。圆综解题技巧（6）圆的内接四边形：圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补．推论：圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。要想熟练解决几何问题，一定要形成一种做辅助线和解题的条件反射，看到题中的某个条件、某个图形或是某种问法脑海中就会即刻呈现出可能的辅助线。这种条件反射像是饿了想吃饭，渴了想喝水一样。（1）见到条件给出圆周角或者圆心角的度数或等量关系→找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角。（2）见到直径→找直径所对的圆周角（3）见到切线尤其是要证明相切关系→连过切点的半径（4）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。（5）圆心是直径的中点，考虑中位线（6）同圆的半径相同，连接两条半径，考虑等腰三角形的性质，圆内的等腰三角形，计算线段长，考虑垂径定理（7）角平分线，平行，等腰→知二得一还有很多要形成条件反射的内容，例如出现平行线要怎么办等等，平时要多注意积累像这些需要形成条件反射的辅助线，我们称之为必连线，即使题中可能用不到，在做题过程中也要先连起来。圆综的解题步骤：第一问一般需要证明切线或角的关系和线段关系它们有一个共同的特点：通过导角来证明。证切线→导直角；证角的关系等→导角；证线段相等→一般导等腰（有时需要全等）；证线段平行→导角。第二问一般需要求边，一种是求边的比例，另一种是求边的长度※求边的比例大多数情况会用相似三角形来解决※求边的长度则分3个步骤：（1）把所求的边放到直角三角形中，利用勾股定理或者三角函数解决（2）把所求的边放到合适的三角形中，利用相似三角形来解决利用勾股定理，相似三角形或者锐角三角函数时，通常需要设未知数，然后列方程求解（3）若发现（1）和（2）行不通，则可以考虑等量代换或者求线段的和差，再回到（1）或（2）解决圆中有非常多的直角三角形，所以相似一般是直角三角形的相似，包括：平行相似，错位相似，射影相似，共角相似，八字相似等典题讲解：1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：∠BDF=∠F；（2）如果CF＝1，sinA＝，求⊙O的半径．解题思路：1：遇到相切：连半径得垂直；2：遇到直径：联想所对圆周角为90°；3：三角函数：直角三角形、相似；35OFEDCBA解：（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，…………………1分∵BC⊥AC，∴OE∥BC，∴∠1=∠F又∵OE=OD，∴∠1=∠2∴∠BDF=∠F；……………2分（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：∠BDF=∠F，∴BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，…………………3分AO=AB﹣OB=5x﹣=，∵sinA=，∴=，即=，………………4分解得：x=，则O的半径为=．……………5分21OFEDCBA2：如图，CA、CB为⊙O的切线，切点分别为A、B．延长直径AD与CB的延长线交于点E．AB、CO交于点M，连接OB．（1）求证：∠ABO=12∠ACB；（2）若sin∠EAB=1010，CB=12，求⊙O的半径及BEAE的值．解题思路：1、题中过一个点有两条切线，可联想：1）切线长定理：切线长相等，角平分线；2）垂直：连接圆心和切点，垂直于切线；3）圆外一点和圆心连线垂直平分“切点弦”——如：OC^AB且OC平分AB2、三角函数1)构造直角三角形或通过导角，转换为直角三角形的三角函数问题；2)利用直角三角形的相似，解决问题。MDBOECA解：（1）证明：∵CA、CB为⊙O的切线，∴CA=CB，∠BCO=12∠ACB，∴∠CBO=90°．………………1分∴CO⊥AB．∴∠ABO+∠CBM=∠BCO+∠CBM=90°．∴∠ABO=∠BCO．∴∠ABO=12∠ACB．…………………2分（2）∵OA＝OB，∴∠EAB=∠ABO．∴∠BCO＝∠EAB．∵sin∠BCO=sin∠EAB=1010．…………………3分∴OBCB＝13．∵CB＝12，∴OB＝4．……………………………………………4分即⊙O的半径为4．∴∠OBE＝∠CAE＝90°，∠E＝∠E，∴△OBE∽△CAE．∴BEAE＝OBCA．∵CA＝CB＝12，∴BEAE＝13．…………………………………………5分MDBOECA3：如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E.（1）求证：EPDEDO；（2）若6PC，3tan4PDA，求OE的长.解题思路：1、题中过一个点有两条切线，可联想：1）切线长定理：切线长相等，角平分线；2）垂直：连接圆心和切点，垂直于切线；3）圆外一点和圆心连线垂直平分“切点弦”——如：OC^AB且OC平分AB过一点有两条切线：2、圆内相似1）半径相等2）三角函数——确定直角三角形的三边比例关系AOBCDEP解：（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△OED∽△DEP，∴，在Rt△OED中，OE2+DE2=52，∴OE=．4：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DFAC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若，CF=9，求AE的长．解题思路：1.证切线，连半径，导90°或垂直1）遇线段相等，得角相等，联想“三线合一”2）遇直径，联想所对圆周角是90°3）看到垂直，联想到平行4）圆心是中点，三线合一出中点，利用中位线2.求线段长1）有锐角三角函数，找直角三角形2)三角函数遇所求线段不在同一三角形，想勾股定理或者相似解：（1）连接,ODAD.3cos5COFEABCD∵AB是⊙O的直径，∴90ADB.又∵ABAC，∴D为BC的中点.又∵O为AB的中点，∴OD//AC.∵DFAC，∴DFOD.又∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线．…………………………………………2分（2）∵DFAC，9CF,∴cosCFCCD.∴3915cos5CFCDC.…………………3分∵90ADB，∴90ADC.∴cosCDCAC.∴31525cos5CDACC………………………4分连接BE.∵AB是⊙O的直径，OFEABCD∴90AEB.又∵DFAC，∴DF//BE.∴1CFCDEFBD.∴9EFCF.∴25997AEACEFCF．……………………………………5分5:如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．解题思路：1：证切线，导直角1）题中出现相等的角，找相等的圆周角2）直径所对的圆周角是90°2：求线段长1）已知BD，CD，射影相似2）利用线段和差解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵∠B=∠AED=∠CAD，∠C=∠C，90.CCADCB∴∠BAC=∠ADC=90°．∴AC是⊙O的切线．………………2分（2）可证△ADC∽△BAC．∴ACCDBCAC．即AC2=BC×CD=36．解得AC=6．∵点E是BD的中点，∴∠DAE=∠BAE.∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2．………………5分6：如图，在△ABC中，AB是圆O的直径，AC与圆O交于点D．点E在BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，AEDACF．（1）求证：CFAB；（2）若4CD，45CB，4cos5ACF，求EF的长．解题思路：1：证线段垂直，导直角1）看到直径，联想直径所对的圆周角是90°2）看到相等的角，找相等的圆周角2：求线段长1）有三角函数，找直角三角形2）利用相似或勾股定理求线段长解：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠1=90°，∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DAB+∠3=90°，∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，∴CF⊥AB；FEDOABC（2）连接OE，∵∠ADB=90°，∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4，∴DB==8，∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3==，∴AB=10，∴OA=OE=5，AD==6，∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，∵CF=AC•cos∠3=8，∴AF==6，∴OF=AF﹣OA=1，∴EF==2．练习：1：如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5,3sin5F时，求BD的长.2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：12CBFCAB；（2）连接BD，AE交于点H，若AB=5，1tan2CBF，求BH的长．EDFBOAC3.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．4.如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半径和BF的长．5:如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE.（1）求证：DE与⊙O相切.（2）若tanC=25，DE=2，求AD的长．方法总结ODECBA（1）证切线，角的关系，线段关系证切线→导直角；证角的关系等→导角；证线段相等→一般导等腰（有时需要全等）；证线段平行→导角。（2）求线段勾股定理，三角函数，相似三角形，线段和差或等量代换课后练习1:如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO.延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，求的长.BADCD3AEDEAFOBECDPAOBECDPA2：如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB