导数单元专题复习教案

1导数一章教学本章主要内容为平均变化率，导数的概念，几种常见函数的导数、函数和、差、积、商的导数，简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，函数在实际生活中的应用，曲边梯形的面积，定积分以及微积分基本定理。高考对“导数”的考查要求分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景（如瞬时速度、加速度、切线的斜率，求导法则）以及微积分基本定理；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决实际应用问题（如利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题以及一些图形的面积），将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布等有机结合在一起，设计综合试题。一、学习要求：（1）导数的概念：了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义。（2）导数的运算：①理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，1,yxy=x的导数；②了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数。（3）导数在研究函数中的应用：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值。（4）导数在实际生活中的应用：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分：了解定积分的实际背景；初步了解定积分的概念；会求简单的定积分。直观了解微积分基本定理的含义。二、教学建议与方法点拨：教学中应注意以下问题：（1）导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。（2）在导数的概念建立之后，要认真引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式，要注意形式化训练中的规范要求，从而加深对导数概念的认识和理解，并从中领悟求导数这一2算法的基本思想。这里的常见初等函数指：yc，yx，2yx，3yx，1yx，yx。（3）教学中，要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值，注意严格控制难度，避免过量的形式化的运算练习。（4）要引导学生在解决具体问题的过程中，结合实例及函数的图象，借助几何直观，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（5）重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导数的工具作用。要注意运用学生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题，帮助学生增强数学应用的意识，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值。（6）引导学生阅读有关资料，了解微积分创立的时代背景和有关人物，让学生体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。方法点拨：1、重视数形结合思想及图象法在解题中的应用；2、注意“定义域优先”的原则；3、注重导数的实际意义，掌握求函数单调区间、极值、最值的一般步骤和方法；4、应用函数与方程思想的同时，还应注意换元、参数、数形结合、分类讨论等思想方法的运用三、考点分析：导数作为研究函数性态、证明不等式和解决一些实际问题的选修内容，仍然将成为高考必考内容，而且内容更加丰富，题型仍然以选择题、填空题、解答题形式出现，其中选择题、填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用，如求函数的导数、切线的斜率、极值、最值、单调区间以及定积分，解答题一般为导数的应用，以及与三角函数、解三角形、不等式、解析几何、函数等知识的综合。四、易错点、学法指导及例题研究例1、函数)(xfy是定义在R上的可导函数，则0)(0/xf是函数在0xx时取得极值的（B）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件例2、已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c＝6；略解：22/43ccxxy，则6208120|22/ccccyx或，2x时取得极大值，所以经检验6c（如令130430,12/ccccyx或，则时）变式引申：函数在x=1时有极值10，则a，b的值为（C）A、或B、或223)(abxaxxxf3,3ba1,4ba11,4ba11,4ba3C、D、以上都不对略解:由题设条件得：解之得通过验证，都合要求，故应选择A，上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验说明：若点0)()(),(000xfxfyx的极值点，则是可导函数；若可导函数),()(00yxxf在点的两侧的导数异号，则点.)(),(00的极值点是可导函数xfyx，函数),()(00yxxf在极值点处不一定可导，如函数322xxy；函数在取得极值处，如果有切线的话，则切线是水平的，从而0)(/xf，但反过来不一定，如函数0,3xxy在处0)(/xf，说明切线是水平的，但这点的函数值不比它附近的大，也不比它附近的小，此处不一定有极值。例3、函数)(xfy是定义在R上的可导函数，则)(xfy为R上的单调增函数是0)(/xf的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件（B）说明：当0)(/xf时，函数)(xfy单调递增，但)(xfy单调递增，却不一定有0)(/xf，例如函数3)(xxf是R上的可导函数，它是R上的增函数，但当0)0(0/fx时，例4、函数)1|(|3)(3xxxxf（D）A、有最大值，但无最小值B、有最大值、最小值B、C、无最大值、最小值D、无最大值，有最小值略解：)1,1()(0)(1||33)(/2/在函数xfxfxxxf上单调递减，所以无最大、最小值。说明：在开区间(a,b)内连续的且可导的函数)(xf不一定有最大值与最小值，如函数xxf1)(例5、求221()ln1xfxx的单调递增区间解：由函数的定义域可知，210x即11x又222211()ln[ln(1)ln(1)]12xfxxxx所以2222122()()21111xxxxfxxxxx令()0fx，得1x或01x综上所述，()fx的单调递增区间为（0，1）11,4ba0)1(10)1(/ff0231012baaba11433baba或4说明：求函数的单调区间时千万要注意定义域变式引申：已知Ra，求函数axexxf2)(的单调区间.解：axaxaxeaxxaexxexf)2(2)('22令0)('xf即0)2(2axeaxx0axe022axx解不等式：022axx，0)2(axx当0a时，解得0x，0a时，解得：ax2或0x，当0a时，解得ax20，令0)('xf，即0)2(axx当0a时，解得0x，当0a时，解得：02xa当0a时，解得0x或ax2综上所述：在0a时，函数)(xf在区间)0,(内为减函数，在区间),0(为增函数。在0a时，函数)(xf在区间)2,(a内为增函数，在区间)0,2(a为减函数，在区间),0(内为增函数。在0a时，函数)(xf在区间)0,(内为减函数，在区间)2,0(a内为增函数，在区间),2(a内为减函数。说明：本题主要是在解不等式时注意对参数的讨论例6、已知曲线)38,2(313Pxy上一点，求过点P的切线方程。解：331)38,2(xyP在上，（1）当)38,2(P为切点时，4|22xyxy，所求切线方程为016312yx（2）当)38,2(P不是切点时，设切点为),(00yx，则30031xy，又切线斜率为20/0|xykxx，所以2380020xyx，)8(31)2(3000xxx，解得（舍去）或2,100xx，此时切线的5斜率为1，切线方程为0233yx，综上所述，所求切线为016312yx或0233yx。例7、求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点P(3,5)的切线；解：（1）123|yk231)1,1(1x/2/23－上，在曲线点－xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200xy①又函数的导数为xy2/，所以过),(00yxA点的切线的斜率为0/2|0xykxx，又切线过),(00yxA、P(3,5)点，所以有352000xyx②，由①②联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025)1(21xyxyxyxy或即，或说明：（1）过点P的切线不能等同于在P点处的切线；（2）求出两条切线，是否可以说不在曲线上的点切线一定存在呢？答案是否定的，由例题可知切线的条数取决于关于0x方程（或方程组）的解的个数；（3）若函数在某点处不存在导数，不一定不存在切线，存在切线也不一定可导。例8、方程内根的个数为在)2,0(076223xx(B)A、0B、1C、2D、3略解：令xxxfxxxf126)(762)(2/23则，＝)2(6xx由200)(020)(//xxfxxxf得由或得，又01)2(07)0(ff，，故得结论例9、若函数)0(23adcxbxaxy在Rx是增函数，则（D）042acbA、B、00cb且C、00cb且D、042acb略解：不等式0)(0)(//xfxf或在指定区间上恒成立例10、函数),3(431)(23在xaxxxf上是增函数，则实数a的取值范围为（D）略解：方法（一）22/32)(aaxxxf＝0))(3(axax，由题意可知当时),3(x，6上面不等式成立，当101330aaaa则，知由时，，当03330aaaa则，知由时，，若0a，不等式显然不成立，故13a；方法（二）因为22/32)(aaxxxf，由题可知当时),3(x，032)(22/aaxxxf恒成立，因为当ax时，0432)(222/aaaxxxf，所以03632aaaa且，所以13a变式引申1：已知a为实数，))(4()(2axxxf。（1）求导数)('xf；（2）若0)1('f，求)(xf在]2,2[上的最大值和最小值；（3）若)(xf在]2,[和),2[上都是递增的，求a的取值范围。解：（1）axaxxxf44)(23，423)('2axxxf（2）令0)1(1f，解得21a，此时43)('2xxxf由0)('xf，得：1x或34x，又29)1(f，2750)34(f，0)2(f，0)2(f所以)(xf在]2,2[上最大值为29，最小值为2750（3）4