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清北学堂高联一试模拟题(十)一、填空题1、已知定义在,4上的减函数fx,使得27sin12cos4fmxfmx对一切实数x均成立,则实数m的取值范围为.答案:13,322解:由题意可得27sin12cos,4sin4.mxmxmx即2312sinsin,44sin.mmxxmxxR对恒成立,又2311sin2sin(sin)422xxx,所以4sin3x.所以112,23.mmm所以112,23.mmm所以12m,或332m.2、一列数123,,,aaa满足对于任意正整数n,都有312naaan,则232017111111aaa.答案:6722017.解:当2n时,有312naaan,3121(1)naaan,两式相减,得2331nann,所以11111(),2,3,13(1)31nnannnn故232017111111aaa11111111(1)()()3232332016201711672(1)320172017.3、已知P、Q、R、S是三棱锥ABCD内的四点,且Q、R、S、P分别是线段PA、QB、RC、SD的中点,若用PABCV表示三棱锥PABC的体积,其余的类推.则:::PABCPBCDPCDAPABDVVVV.答案:8:1:2:4.解:记,PBCDd为点P到平面BCD的距离.其余类推.设1PBCDV.∵,,::2SBCDPBCDddSDPD.∴2SBCDV.∵,,::2:1RBCDSBCDddRCSC,∴4RBCDV.∵,,::2:1QBCDRBCDddQBRB,∴8QBCDV.设AP延长后交平面BCD于'P.则':':8:1QBCDPBCDQPPPVV.∴:'7:1QPPP,又AQQP,∴':'15:1APPP.∴15ABCDV.同理1QACDV,1SABCV,1RABDV.∴88PABCSABCVV,22PCDAQCDAVV,244PABDQABDRABDVVV.∴:::8:1:2:4PABCPBCDPCDAPABDVVVV.4、直线2ykx交抛物线28yx于,AB两点,若AB中点的横坐标为2,则AB.答案:215.解:设1122,,,AxyBxy,由228kyy,即28160kyy,所以,1212816,yyyykk,因此12128444yykxxkk,即220kk,因直线2ykx过0,2和122,2yy,则0k,于是2k,再由22yx,28yx,解得23,223,23,223AB,所以215AB.5、设函数:,(0)1fRRf满足,且对任意,,xyR都有(1)()()()2fxyfxfyfyx,则()fx=.答案:()1fxx.解:,,(1)()()()2,xyRfxyfxfyfyx对有(1)()()()2fxyfyfxfxy有()()()2fxfyfyx=()()()2fyfxfxy即()(),0,()1fxyfyxyfxx令得.6、数列}{na是单调递增数列,且Nn时1132nnnaa,则首项0a.答案:51.解:由已知有)52(35211nnnnaa,故)51()3(520aannn,从而)]51()23(41[520111aaannnn.若0510a,则对充分大的偶数0,1nnaan;若0510a,则对充分大的奇数0,1nnaan.因此,510a时,数列}{na不是单调递增数列.当510a时,对一切Nn,有05211nnnaa,数列}{na是单调递增数列.7、已知dcxbxaxxp23)(是一个三次多项式,满足)21()21(pp)0(1000p.设321,,xxx是)(xp的3个根,则323121111xxxxxx的值为.答案:1996.解:由)0(1000)21()21(ppp可得ddb1000221,所以.1996db因为321,,xxx是dcxbxaxxp23)(的3个根,由根与系数的关系可得abxxx321,adxxx3321)1(.因此321321323121111xxxxxxxxxxxx=31996.(1)bbadda8、将圆周9等分于点129,,,AAA,在以其中每三点为顶点的三角形中,含有圆心的三角形的个数为.答案:30.解:一般地讨论圆周21n等分的情况,任取其中一个分点,记为P,然A1B1AnBnA2B2Bn-1An-1B3A3P后将其余2n个分点这样标志,自P点后,反时针方向的连续n个点依次记为12,,,nAAA;顺时针方向的连续n个点依次记为12,,,nBBB;先考虑以P为顶点且含有圆心的三角形,如图,显然,这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集12,,,nAAA,而另一个属于点集12,,,nBBB.且这种ijPAB含有圆心当且仅当1ijn,,1,2,,ijn,今计算合于条件的三角形个数:当ik时,j可取值,1,,1nnnk,共计k个值,因此这种含有圆心的ijPAB个数为1112nkknn,当点P取遍21n个位置,共得11212nnn个三角形,由每个三角形有三个顶点,故每个三角形重复计算了三遍,因此,合于条件的三角形个数为1216nnn.二、解答题9、数列}{ny定义如下:12211,72,(1,2,)nnnyyyyyn.求证:数列}{ny中的每一项都是完全平方数.解:方法一:利用三阶递推,求出yn,再用数学归纳法证明它们都是完全平方数。方法二,构造数列nf:122111,2,.nnnfffffn,,性质1:当n为奇数时,222)·1.(nnnfff-简证:左边=22425131nnnffffff。性质2:223.nnnfff观察:nf:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…y1=1,y2=1,y3=4=22,y4=52,y5=132,…猜测:2322()nnyfn。下面用数学归纳法证明:由2222()9()nnnfff得222222222292?()()(72)()()nnnnnnnfffffff∴212322221()(()72)nnnfff,即223()nf与}{ny满足相同的递推关系与初始项,从而确实有2322()nnyfn,又y1=1,即证}{ny中的每一项都是完全平方数。10、如图,椭圆22221xyab(0ab)上有一个内接四边形ABCD,其中A、B为椭圆的左、右顶点,AC、BD为四边形的对角线.记Q为右准线与x轴的交点,l为过右焦点F所作的准线的平行线.当C、D、Q三点共线时:(Ⅰ)求CD斜率的值域;(Ⅱ)证明直线AC、BD、l三线共点.解:(Ⅰ)由已知有,0Aa,,0Ba,2,0aQc22cab,直线l:xc.当C、D、Q三点共线时,设CD的斜率为k,由组成四边形知,CD不是,AB,故0k,又将C或D的坐标一般地记为椭圆上点,xy,由椭圆的定义有222ayxcexc,其中cea为椭圆的离心率.由斜率公式,有222200yxcykeaaxxcc.但当xc时,k取最大值,CQ为椭圆的切线,,CD重合为一点,与四边形矛盾,故斜率的值域为0ke,或,00,ccaa.(Ⅱ)当,,CDQ三点共线时,设C、D的坐标依次为cos,sinab,cos,sinab,由第(Ⅰ)问知直线CD的斜率存在且属于K,有22sinsinsin0sin00coscoscoscosbbbbaaaaaacc,①得sinsin,sin0,sin0,②且sinsincoscoscaca.③由②可把③化成比例(分母不为零),并变形cossinsinsin2sinsinsincos2casinsinsinsinsinsin.④又AC,BD的方程为sin00cosbyxaaa,sin00cosbyxaaa,联立消去y,得sin0sin0coscosbbxaxaaaaa,可解得直线AC、BD交点的横坐标为sincos1sincos1sincos1sincos1xasinsinsinsinsinsina,⑤把,,CDQ三点共线的条件④代入,得xc,这表明直线AC,BD的交点在l上,得证AC,BD,l三线共点.11、若x,y,z是正实数,且xyyzzxxyz,求333(1)(1)(1)xyzyzxzxy的最小值.解:由题设条件得:1111xyz,设abcxaabcybabczc其中,,abc是正实数,则左边323()()1abcabcbca32223()abcabcababbcacacbca65565538888883333()38383648abcabcabcabcbcaabc.当且仅当abc时,即3xyz时取等号.二试一、ABC的内心为I,圆切AB,AC于M,N.圆'过B,C且于相切于点D.求证:M,B,D,I;N,C,D,I分别四点共圆.证明:设MBI与NCI外接圆交于D'点,D'M交BI于P,D'N交CI于Q,则有MDNMDINDI'''=MBI+MCIMDI',D'在圆上又ABCPIQMDN90180180(')22,IPQD,,,'四点共圆.MNABCDD'IPQDPQDIQDNCDMN''''类似有DQPDNM'',从而PQ//MN,MPNQPDQD''故MBMBPNCNCQBDDBPDCDCQsinsin'sin''sin',而MBPIMNCQINDBPIDDCQIDsinsin,sin''sin''且IM=IN,MBNCBDMBBDDCDCNC','''设DB,DC交圆'于E,F,则BMBEBDCNCECD22,有,'位似,D为位似中心,BECEBMNCBDBDBDCDBDCDDCDC',',所以,DD'.证毕.二、已知,,xyz是正实数,证明22222222232224xyyzzxxyzxyzxyz。证明:设222,,uxvywz,则222222222222xyyzzxxyzxyzxyz222222222222xyyzzxyzzxzxxyxyyz222222222222222xyyzzxyzzxzxxyxyyz111222uvvwwuvwwuwuuvuvvw。设,,avwbwucuv,则20,20abcwbca
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