第三章-半导体中载流子的统计分布

第三章半导体中载流子的统计分布3.1状态密度3.2费米能级和载流子的统计分布3.3本征半导体的载流子浓度3.4杂质半导体的载流子浓度3.5简并半导体重点和难点热平衡时非简并半导体中载流子的浓度分布费米能级EF的相对位置热平衡状态在一定温度下，载流子的产生和载流子的复合建立起一动态平衡，这时的载流子称为热平衡载流子。半导体的热平衡状态受温度影响，某一特定温度对应某一特定的热平衡状态。半导体的导电性受温度影响剧烈。态密度的概念能带中能量附近每单位能量间隔内的量子态数。能带中能量为无限小的能量间隔内有个量子态，则状态密度为()gEEEdE（）zd()dzgEdEE3.1状态密度态密度的计算状态密度的计算单位空间的量子态数能量在空间中所对应的体积前两者相乘得状态数根据定义公式求得态密度()gEEEdE（）kdzk假定在能带中能量E～（E+dE）之间无限小的能量间隔dE内有dZ个量子态，则状态密度g（E）为:（3-1）g（E）：能量E附近每单位能量间隔内量子态数()dZgEdE怎样得到g（E）?通过k(k空间)计算k空间的状态密度1.算出单位k空间中量子态数（k空间的状态密度）。2.算出k空间中与能量dE即E～（E+dE）间对应的k空间体积，用k空间体积和k空间中的状态密度相乘（dZ）。根据可求的状态密度g(E)()dZgEdE3.1.1k空间中量子态的分布2222220024,,0......22xyzxyzkEkkmmLL（k+k+k）k，，三维情况下电子每个允许状态都可以表示为k空间中的一个球内的点，它对应自旋相反的两个电子，二者的能量相同波矢分量kx,ky,kz量子化的结果是：k空间的每个最小允许体积元是（2π/L）3，即这个体积中只存在一个允许波矢（电子态），由一组三重量子数kx,ky,kz决定。考虑自旋后，k空间的态密度为：2/[(2π/L)3]=2V/8π3在空间中，电子的允许能量状态密度为，考虑电子的自旋情况，电子的允许量子态密度为，每个量子态最多只能容纳一个电子。2(0,1,2,2(0,1,2,2(0,1,2,xxxyyyzzznknLnknLnknL）））3/8V（）k3/4V（）3.1.2状态密度允许的量子态(允态)按能量如何分布?计算半导体导带底附近的状态密度导带底附近E(k)与k的关系：22*()2CnkEkEm　　　　　　（３－２）一、考虑能带极值在k=0，等能面为球面（抛物线假设）的情况。两个球壳之间体积是4лk2dk，k空间中量子态密度是2V/8π2，所以，在能量E～(E+dE)之间的量子态数为kk+dk2324(33)8VdZdk由式（3-2）求得k与E的关系22**1/21/2*223*3/21/223()2(2)()2VdZ4kdk8(2)()dZ2CnncnnckEkEmmEEkmdEkdkmEEVdE　　　　　　（３－２）所以有：　和　　代入：*3/21/223*3/21/223(2)()dZ2(2)()2ncncCmEEVdEmEEdZVgEdE由所以导带底附近：状态密度（）　　　（３－５）同理可算得价带顶附近状态密度gv（E）为:*3/21/223(2)()2pvvmEEVgE（）　　*3/21/223(2)()2ncCmEEVgE（）*3/21/223(2)()2pvvmEEVgE（）　　特点：•状态密度与能量呈抛物线关系•有效质量越大，状态密度也就越大•仅适用于能带极值附近二实际半导体硅、锗，导带底附近，等能面为旋转椭球面EC：极值能量可计算得2222312()[]2tlkkkhEkEcmm*3/21/223(2)()2ncCmEEVgE（）　　31223ndnltmmsmmmdn:导带底电子状态密度有效质量S：对称状态数硅：导带底共有六个对称状态s=6，将m1，mt的值代入式，计算得mdn=1.08m0。对锗,s=4，可以计算得mdn=0.56m0硅、锗中，价带中起作用的能带是极值相重合的两个能带，这两个能带相对应有轻空穴有效质量（mp）1和重空穴有效质量（mp）h。价带顶附近状态密度应为这两个能带的状态密度之和。相加之后，价带顶附近gv（E）仍可下式表示，不过其中的有效质量mp为mdp.*3/21/23(2)()4pvvmEEgEVh（）　　*3/23/22/3[()()]pdpplphmmmm　mdp称为价带顶空穴的状态密度有效质量硅，mdp=0.5m0；锗，mdp=0.37m0。3.2费米能级EF和载流子的统计分布3.2.1费米分布函数和费米能级－费米－狄喇克分布函数给出了理想电子气处于热平衡时能量为ε的轨道被电子占据的几率：01()1expFfEEEkT　　　　　　（３－１０）EF---费米能级（化学势）热平衡系统具有统一的化学势统一的费米能级根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率为称为电子的费米分布函数空穴的费米分布函数？()fE01()1FEEkTfEe()fE1()fEEF非常重要的一个量~费米能或费米能量，它和温度T、半导体材料的导电类型n、p，杂质的含量以及能量零点选取有关。表示基态下最高被充满能级的能量。只要知道EF数值，在定T下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定。决定EF的条件：半导体中能带内所有量子态中被电子占据的量子态数等于电子总数()iifEN费米分布函数f（E）特性分析：a)当T=0K时：若EEF，则f(E)=1，若EEF，则f(E)=0。01()1expFfEEEkT　　　　　　c)在一切温度下，当E=EF时，f(E)=1/2d)在F－D分布的高能尾部相应于E－EFkT，F－D分布简化成玻尔兹曼分布0()exp()FEEfEkTb)T0K:若EEF，则f(E)1/2EEF，则f(E)1/2∴在热力学温度零度时，费米能级EF可看成量子态是否被电子占据的一个界限。系统热力学温度0时，如量子态的能量比费米能级低，则该量子态被电子占据的概率50%；量子态的能量比费米能级高，则该量子态被电子占据的概率50%。量子态的能量等于费米能级时，则该量子态被电子占据的概率是50%。标志----费米能级是量子态基本上被电子占据或基本上是空的01()1expFfEEEkT　　　　　　费米能级位置直观地标志了电子占据量子态情况.费米能级标志了电子填充能级的水平对一系统而言,EF位置较高，有较多的能量较高的量子态上有电子。EF的意义：005()0.0075()0.993FFEEkTfEEEkTfE图给出的300K、1000K，1500K时f(E)与E的曲线，从图中看出，随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的概率下降，而占据能量大于费米能级的量子的概率增大。TemperatureDependent!费米能级EF强p型弱p型弱n型强n型本征型ECEVEI3.2.2玻尔兹曼分布函数电子的费米分布函数E-EF》k0T时01()1expFfEEEkT　　　　　　000exp11expexpFFFEEkTEEEEkTkT　》，所以　　　　0000expexpexpexpFFEEkTEEEkTkTkTＢ费米分布函数转化为：－　＝ｆ（Ｅ）　－　　＝Ａ－（３－１３）＝ｆ（Ｅ）000expexpexpFEEEkTkTkTＢ－　＝Ａ－＝ｆ（Ｅ）显然,在一定温度T，电子占据E的的概率由e-E/k0T定-----玻耳兹曼统计分布函数fB(E)称为电子的玻耳兹曼分布函数我们讨论f（E）：f（E）表能量为E的量子态被电子占据的概率，1-f（E）必然表示能量为E的量子态不被电子占据的概率，表量子态空（被空穴占据）的概率。01()1expFfEEEkT　当（EF-E）》k0T时，00011()1expexpexpFFfEEEkTEBkTEBkT　－　　　（３－１４）－空穴的费米分布函数空穴的玻尔兹曼分布函数表明当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的概率很小，即这些量子态几乎都被子电子所占据了。EF半导体材料中，EF位于禁带内，一般Ec–EF》k0TEF–Ev对导带中的所有量子态，E–Ec0,被电子占据的概率，一般都满足f(E)《1，半导体导带中的电子分布可以用电子的玻耳兹分布函数描写。价带道理相同EcEvE增大，f(E)减小，导带中绝大多数电子分布在导带底附近EcEv价带中的量子态，被空穴占据的概率，一般满足1-f(E)《1。价带中的空穴分布服从空穴的玻耳兹曼他分布函数。E增大，1-f（E）增大，价带中绝大多数空穴集中分布在价带顶附近。ECEVEF（3-13）、（3-14）两个基本公式。服从玻耳兹曼统计律的电子系统-----非简并性系统0expEkTＢｆ（Ｅ）＝Ａ－（３－１３）01()expEfEBkT　　　（３－１４）服从费米统计律的电子系统-----------简并性系统3.2.3导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度解决第二个问题：计算半导体中的载流子浓度。状态密度为gc(E)，E处参量E～（E+dE）之间有dZ=gc(E)dE个量子态，而电子占据能量为E的量子态的概率是f（E），则在E～（E+dE）间有f(E)gc(E)dE个电子。从导带底到导带顶对f(E)gc(E)dE进行积分，就得到了能带中的电子总数，再除以半导体体积V，就得到了导带中的电子浓度。图为能带、函数f(E)、1-f(E)、gc(E)、gv(E)等曲线图（e）中可看出，导带中电子的大多数是在导带底附近，而价带中大多数空穴则在价带顶附近。图为f(E)gc(E)和[1-f(E)]gv(E)等曲线。在非简并情况下，导带中电子浓度可计算如下。在能量E～（E+dE）间的电子数dN为*3/21/2230()()(2)exp()()2BcnFcdNfEgEdEmEEVdNEEdEkT*3/21/223(2)()2ncCmEEdZVgEdE（）　（３－５）得能量E～（E+dE）之间单位体积中的电子数为*3/21/2230(2)1exp()()2nFcmEEdNdnEEdEVkT对上式各分，得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为'*3/21/20230(2)1exp()()2ccEnFEcmEEnEEdEkT　　　　（３－１５）*3/21/2230(2)1exp()()2nFcmEEdNdnEEdEVkT积分上限E`c是导带顶能量。作一变换：x=(E-Ec)/(k0T)，（3-15）变为导带宽''*3/22/31/2000301/200(2)4()exp()3162xxncFxxcFmEEnkTexdxhkTxexdxEExkT‘　　　　（）令，则有其中积分上限改为无穷不影响结果。导带中的电子绝大多数在导带底部附近。'*3/22/31/2000230*3/22/31/2000230(2)1()exp()2(2)1()exp()2xxncFxncFmEEnkTexdxkTmEEnkTexdxkT数学处理上带来了很大的方便，（3-16）可改写：1/203/2*0020**3/200230022exp()2(2)222exp()xncFnncFexdxmkTEEnkTmkTmkThEEnkTｃｃ　　３－１７令Ｎ=＝