1.2平面直梁单元

第二节平面直梁单元平面直梁是指变形前轴线为直线、载荷位于其主形心惯性平面内的能承弯的杆件．现取一单元，如图1.2.1所示为一局部坐标系中的弯梁单元(beamelement)，其长度为l，弹性模量为E，横截面的惯性矩为I。图1.2.1局部坐标系中的梁单元结点为i，j．坐标选取如图1.2.2所示，结点力列阵为eR，相应位移为e．TeiiijjjRNQMNQM（1.2.1）Tjjjiiievuvu(1.2.2)图1.2.2平面直梁单元这表明该单元的节点位移有6个自由度(DOF)。其中jjjiiivuvu分别为各节点的挠度(deflection)和转角(slope)。若该单元承受有分布外载，可以将其等效到节点上，即也可以表示为如(1.2.1)所示的节点力。和前面推导杆单元时的情形类似，利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参量用节点位移列阵e及相关的插值函数来表示。641.2.1位移函数我们先将轴力与剪力、弯矩分开考虑．先回顾一下直梁弯曲时的变形情况，根据平面假设，原来垂直轴线的平面，变形后仍垂直轴线．若梁中面挠度为v，则因弯曲而引起的轴向位移为,dvuxyydx其中y是所讨论点离中面的距离．应变22xdudvydxdx又根据平衡关系有xyMI其中I是切面惯性矩，．根据胡克定律，AdAyI2xxE，有22yMdvEyIdx因22dvMEIdx又根据剪力与弯矩的关系：dMQdx，有2222dMddvqEIdxdxdx22现讨论的梁E，I为常数，故44dvqEIdx若梁上无分布剪力，即q=o，则440dvdx，由此可以判断v可是x的三次函数·设230123vxbbxbxbx则梁的转角212323dvxbbxbxdx将i，j结点位移代入式，和230123vxbbxbxbx212323dvxbbxbxdx，得0ivb1ib6520123jvbblblbl3212323jbblbl用矩阵表示01232231000010010123iijjvbbvblllbll从而得01222332321000010032312121iijjvbbvbllllbllll2322323210000100323112121iijjvvxxxxvlllllllliivjjvNv23232323232232322321iijjvxxxxxxxxxvllllllll(1.2.3)单元的形状函数矩阵为vN23232323232232322321vxxxxxxxNxllllllllx0101iijjHHHH(1.2.4)其中23023321ixxHll,23122ixxHxll2302332jxxHll,2312jxxHll设lx，则上式可写成66230132iH,2312iHl2032jH3,231jHl以上四个函数即是二结点梁单元的形状函数．由于每结点有两个位移参数，则每结点有两个形状函数．是指i结点零阶导数(即i点位移)对应的形函数，指i结点一阶导数(即i结点转角)对应的形函数，位移函数用内插多项式表示为iH0iH10101iiiiiijjjjvjjvvxHvHHvHNv现在分析形状函数的性质，当x=0，即0,2300132iH1；当x=l，即1,，其图像如图1.2.3(a)所示．它表示当i点垂直位移，单元其他位移等于零时梁元的挠曲形状．又有：23011320iH1iv236602idHxxldxl，当0000,0;,0;iixxdHdHxxldxdxl这说明曲线在i,j点切线平行x轴,即不引起结点转角值的改变．iH0iH02312iHl，当，即0x0,100iH；x=l,即1，，这表示当i点产生单位转角011iH1i，其他位移是零值时的挠曲线．又202431idHxxdxll，当1100,1;,iidHdHxxdxdx0;xxljH,1l，这说明不引起i，j结点位移值的改变，其图像如图11.2.3(b)所示．同样对于也可作类似分析，其变化如图1.2.3(c)、(d)所示．iH1jH067图1.2.3梁单元形状函数上述形函数的性质列表如下：这样保证了在i点,iidvvvdx.轴力N引起的位移u(x)仍设为线性，01uxaax，将结点位移代入可求得011011ijuauall由此得01101111iiujjuuauxxxNuuall其中，11uxxNll.现将结点位移列阵合并为Teiiijjjuvuv位移函数改写为68euxNvx(1.2.5)则形状函数[N]为01011000000uiijjvNNHHHHN(1.2.6)位移函数求得后，可得到应变和应力的表达式：若忽略剪切影响，N是拉力引起的应变，b是弯曲引起的应变2222iujNibivjjudNudxduvdxdvdNyydxvdx232232110000612466122600iiijjjuvlluxxxxyyyyllllllllv=eB式中B=232232110000612466122600llxxxyyyyllllllllx(1.2.7)应力为eNbEEB最后，梁的应力应是N和b的代数和。1．2．2梁元的刚度矩阵现根据最小势能原理求梁元的刚度矩阵．梁的应变能U6912TVUdV12eTeTeVBEBdV12eeTekeTVkBEBdV梁上的结点力，并有分布力TjjjiiieMQNMQNFxq作用．在选位移函数时虽然假设了q=0，若作用有分布载荷q(x)，位移函数仍可用三次幂函数近似，分析过程完全同前．只是外力势中增加一项，这时外力势V为Tdxxqul0lTeTedxxquRV0总势能eeUVelTTeeTeeeTedxxqNRk021eTeeTeeeTeQRk21式中，是分布载荷的等效结点力．0lTeQNqxdx取驻值时有e0ee,得eeeeQRk(1.2.9)上式就是刚度方程．现分别计算其中各项：刚度矩阵eTVkBEBdVB(1.2.10)将式=232232110000612466122600llxxxyyyyllllllllx代入，并进行积分，得703232322120640001261200626400eEAlEIlEIEIllkEAEAllEIEIEIlllEIEIEIEIllll式中，A为梁截面积，是截面对主轴的惯矩．dAyI2对薄壁短梁，高度5lH(是跨度)时，应计及剪切影响．这时可对刚度矩阵做如下修正：l32323221201460110012612001114466001111eEAlEIlEIEIllkEAEAllEIEIEIlllEIEIEIEIllll式中，212lGAEIs是剪切影响系数，是有效抗剪面积．sA1．2．3等效结点力等效结点力是根据功互等原理，将分布载荷转移到结点上所得到的载荷，这样的变更，对全结构的计算不会带来明显的误差，但对载荷区域单元的应力分布，将有较大影响。根据虚功原理，当单元发生虚位移eNu时，分布力xq所做的功为lTTelTdxxqNdxxqu00它必须等于等效结点载荷所做的功，由此得到71lTTeeTedxxqNQ0从而得到分布载荷的等效结点力计算公式lTedxxqNQ0(1.2.11)图1.2.4(1)分布轴力的等效结点力(图1.2.4(a))xp0PlTeiuPjNPNpNxdxuN是轴向位移形函数，线位移时1uxxNll,001llxpxdlPxpxdxlx当为均布载荷时xppxp，则12ppijNNpl即两结点各半．(2)分布剪力的等效结点力(图1.2.4(b))xq0eqiqlTeivqjqjQMQNqQMxdxvN是对应挠度的形状函数．当挠度选为x的三次式时7223232323232232322321vxxxxxxxNxllllllllx232302320232302320321232llqiqiqljqjlxxqxdxllQxxqxxdxllMQQxxqxdxMllxxqxdxll23021223323210210132001100llQQllQllQll式中00lQqxdxxxx10lQqxxd220lQqxxd330lQqxxd对不同的,积分后的等效节点力见下表xq73l是梁单元的长度.⑶分布力矩的等效节点力xmz对应的位移是转角zmdxdv，因此相应的形状函数矩阵为vN0emimTleivzmjmjQMQNmQMxdxmiQ当挠度为x的三次式时mimjmjMQQM23021223323