高考数学《高考大题增分专项2-高考中的三角函数与解三角形》

高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结考情分析-2-从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查呈现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题15分,要么一个小题一个大题17分,间隔出现,每两年为一个循环.在三个小题中,分别考查三角函数的图象与性质、三角变换、解三角形;在一个小题一个大题中,小题要么考查三角函数的图象与性质,要么考查三角变换,大题考查的都是解三角形.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-3-题型一题型二题型三题型四突破策略化异求同法解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元,减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次;在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角也是化异为同;对于三角函数式中既有正弦、余弦函数又有正切函数,化简方法是切化弦,或者弦化切,目的也是化异为同.题型一三角函数的化简与求值高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-4-题型一题型二题型三题型四例1(2016山东实验中学模拟一)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=sin𝐴+sin𝐵cos𝐴+cos𝐵.(1)求角C的大小;(2)若c=3,求a2+b2的取值范围.解(1)因为tanC=sin𝐴+sin𝐵cos𝐴+cos𝐵,即sin𝐶cos𝐶=sin𝐴+sin𝐵cos𝐴+cos𝐵,所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C[或C-A=π-(B-C)舍去],即2C=A+B,又A+B+C=π,故C=π3.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-5-题型一题型二题型三题型四(2)由C=π3,可设A=π3+α,B=π3-α,0A,B2π3,知-π3απ3.又2R=𝑐sin𝐶=3sinπ3=2,a=2RsinA=2sinA,b=2RsinB=2sinB,故a2+b2=4(sin2A+sin2B)=41-cos2𝐴2+1-cos2𝐵2=4-2cos2π3+2𝛼+cos2π3-2𝛼=4+2cos2α.由-π3απ3,知-2π32α2π3,则-12cos2α≤1,故3a2+b2≤6.所以a2+b2的取值范围是(3,6].高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-6-题型一题型二题型三题型四对点训练1已知函数f(x)=Asin𝑥+π4,x∈R,且f5π12=32.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈0,π2,求f3π4-𝜃.解(1)∵f(x)=Asin𝑥+π4,且f5π12=32,∴f5π12=Asin5π12+π4=Asin2π3=A·32=32.∴A=3.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-7-题型一题型二题型三题型四(2)由(1)知f(x)=3sin𝑥+π4,且f(θ)+f(-θ)=32,∴f(θ)+f(-θ)=3sin𝜃+π4+3sin-𝜃+π4=3sin𝜃cosπ4+cos𝜃sinπ4+sinπ4cos𝜃-cosπ4sin𝜃=3×2cosθsinπ4=6cosθ=32,∴cosθ=64,且θ∈0,π2.∴sinθ=1-cos2𝜃=104.∵f3π4-𝜃=3sin3π4-𝜃+π4=3sin(π-θ)=3sinθ=304.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-8-题型一题型二题型三题型四策略一策略二题型二三角函数性质与三角变换的综合突破策略一多式归一法对于已知的函数解析式是由多项三角函数式通过四则运算组合而成的,求其函数的性质,一般的思路是通过三角变换,把多项三角函数式的代数和(或积、商)化成只有一种名称的三角函数式,化简中常用到辅助角公式asinx+bcosx=𝑎2+𝑏2sin(x+φ).高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-9-题型一题型二题型三题型四策略一策略二例2已知函数f(x)=4tanxsinπ2-𝑥cos𝑥-π3−3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.解(1)f(x)的定义域为𝑥𝑥≠π2+𝑘π,𝑘∈Z.f(x)=4tanxcosxcos𝑥-π3−3=4sinxcos𝑥-π3−3=4sinx12cos𝑥+32sin𝑥−3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2𝑥-π3,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-10-题型一题型二题型三题型四策略一策略二(2)令z=2x-π3,函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,π4,B=𝑥-π12+𝑘π≤𝑥≤5π12+𝑘π,𝑘∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-11-题型一题型二题型三题型四策略一策略二对点训练2(2016江西南昌一模)已知函数f(x)=(3sinωx+cosωx)cosωx-12(x∈R,ω0).若f(x)的最小正周期为4π.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求f(A)的取值范围.解(1)∵f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx-12=32sin2ωx+12cos2ωx=sin2𝜔𝑥+π6,∵T=2π2𝜔=4π,∴ω=14.由2kπ-π2≤𝑥2+π6≤2kπ+π2,k∈Z,得4kπ-4π3≤x≤4kπ+2π3,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为4𝑘π-4π3,4𝑘π+2π3(k∈Z).高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-12-题型一题型二题型三题型四策略一策略二(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,2sinAcosB=sin(B+C).∵sin(B+C)=sinA0,∴cosB=12.又B∈(0,π),∴B=π3,∴0A2π3.∵f(A)=sin𝐴2+π6,∴π6𝐴2+π6π2.∴f(A)∈12,1,即f(A)的取值范围是12,1.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-13-题型一题型二题型三题型四策略一策略二突破策略二整体代换法利用函数y=sinx的有关性质求三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间、对称轴方程等问题,要把ωx+φ看作一个整体,整体代换函数y=sinx的相关性质,进而求出题目所要求的量.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-14-题型一题型二题型三题型四策略一策略二例3(2016山东实验中学模拟一)已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+32,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期T及在[-π,π]上的单调递减区间;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角,a=33,c=6,且f(A)是函数f(x)在0,π2上的最大值,求△ABC的面积.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-15-题型一题型二题型三题型四策略一策略二解(1)∵f(x)=sin2x+3sinxcosx+32=1-cos2𝑥2+32sin2x+32=32sin2x-12cos2x+2=sin2𝑥-π6+2.∴T=2π2=π.又2kπ+π2≤2x-π6≤2kπ+3π2(k∈Z),∴kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z).当k=0时,x∈π3,5π6⊆[-π,π];当k=-1时,x∈-2π3,-π6⊆[-π,π];故函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间为-2π3,-π6和π3,5π6.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-16-题型一题型二题型三题型四策略一策略二(2)∵x∈0,π2,∴2x-π6∈-π6,5π6,∴-12≤sin2𝑥-π6≤1,∴f(x)max=3.此时2x-π6=π2,即x=π3.∵f(A)是函数f(x)在0,π2上的最大值,且角A为锐角,∴2A-π6=π2,得A=π3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,∴b2-6b+9=0,∴b=3.∴S△ABC=12bcsinA=12×3×6×32=932.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-17-题型一题型二题型三题型四策略一策略二对点训练3(2016山东青岛一模)已知函数f(x)=sin2ωx-sin2𝜔𝑥-π6(x∈R,ω为常数,且12ω1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f35𝐴=14,求△ABC面积的最大值.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-18-题型一题型二题型三题型四策略一策略二解(1)f(x)=sin2ωx-sin2𝜔𝑥-π6=1-cos2𝜔𝑥2−1-cos2𝜔𝑥-π32=1212cos2𝜔𝑥+32sin2𝜔𝑥−12cos2ωx=1232sin2𝜔𝑥-12cos2𝜔𝑥=12sin2𝜔𝑥-π6.∵直线x=π是y=f(x)的图象的一条对称轴,∴sin2𝜔π-π6=±1.∴2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z),高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-19-题型一题型二题型三题型四策略一策略二即ω=𝑘2+13(k∈Z).∵ω∈12,1,∴k=1,ω=56.∴f(x)=12sin53𝑥-π6.∴函数f(x)最小正周期T=2π53=6π5.(2)∵f(x)=12sin53𝑥-π6,∴f35𝐴=12sin𝐴-π6=14,∴sin𝐴-π6=12.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-20-题型一题型二题型三题型四策略一策略二∵0Aπ,∴-π6A-π65π6.∴A-π6=π6,∴A=π3.∵a=1,∴1=b2+c2-2bccosπ3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤1.∴S△ABC=12bcsinA=34bc≤34.∴△ABC面积的最大值为34.高考大题增分专项高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形考情分析典例突破专题总结典例突破-21-题型一题型二题型三题型四策略一策略二题型三正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合问题突破策略一边角互化法在解三角形中,根据所求结论的需要,通过