1、分数的裂项(裂差)

华数知识点点击破陈拓老师讲义1/4第1讲分数的裂项（裂差）【内容综述】在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：1）123n12nn；2）1223nn1123nnn；3）123234nn1n21234nnnn；4）1n2n13n2n12n1126nnn；5）222222+12+224626nnnn；（n为偶数）6）22222122+1135216nnnn；（n为奇数）7）2222123n1216nnn；8）3333123n2123n=2214nn；这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以咔咔抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）11111111111223341nnnnn裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法．11baabab，11111nnnn，1111nnppnnp．例1.计算：111112233499100________；【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式．【解答】原式111111111223349910011110099100【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！例2.计算：123101224474656_______；【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题．华数知识点点击破陈拓老师讲义2/4【解答】原式21427456461224474656111111111224474656111565556【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果．例3.计算：1111255881198101__________；【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13，然后裂差吧．【解答】原式13333325588119810111111111132558811981011113210133202【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项．例4.计算：11111353575799799101_________；【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？【解答】原式1111111114133535575779979999101111413991018339999【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnnnnnnn；11()()111()2()2()()npnpnpnnppnpnnppnpnnnp．华数知识点点击破陈拓老师讲义3/4同学们不妨记住两个分数裂差公式：1）1111122334(1)1nnnn；2）111111112323434(1)(2)22(1)(52)nnnnn．例5.计算：11111121231234123100_________；【分析】分母先使用公式：123n12nn，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：12，23，34，46，„„，可以直接裂项了．【解答】原式11111251223103441001101121200101【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律．例6.计算：222222221223342012016122334201201556=__________；【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算．【解答】原式1111222212233420120165（共2015项）111122011223342015520161403012016201540302016【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnn，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦．同时裂差法不单单只用于分数的连加裂项，也适用于整数的裂项，以及分数的特殊裂项，如1）1234100（使用裂差法）_________；（提示：(1)(1)2nnnnn）2）232012222（使用裂差法）_________；（提示：2nnn）3）1239121231234123410_________；华数知识点点击破陈拓老师讲义4/4（提示：1111123123123(1)!!nnnnnnn）【练习题】1.计算：11111223344950__________；2.计算：1111144771097100__________；3.计算：2310011212123129912100=__________；4.计算：2341011212231223341223100101__________；5.计算：22221223349910012233499100__________；【参考答案】1、4950；2、33100；3、50495050；、4、27573434；5、99396100；