高中数学(人教版)n重积分课件

一、n重积分的物理背景二、n重积分的定义三、n重积分的计算由于三维以上的空间中区域的体积没有直观的几何意义,因此本节先定义n维长方体的体积,再定义n维区域的体积,最后建立起n重积分的理论与计算方法.*§7n重积分数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容1V111(,,),xyz2V设物体中点坐标为中点坐标为2222(,,)xyz,且它们之间的引力系数为1.下面用微元法求它们之间的引力.的微元对的微元的引力1V2V由万有引力定律知道,在x轴上的投影为222(,,),xyz1111(,,)xyz与它们的密度函数分别为2V2222ddd,xyz在中取质量微元1111ddd,xyz质量微元§7n重积分物理背景定义计算n重积分的物理背景1V中取为此,在12121112223()ddddddd,xxxxyzxyzFr其中222121212()()().rxxyyzz于是1V与2V间的引力在x轴上投影的值为一个六重积分：11112222121112223(,,)(,,)()dddddd.xVxyzxyzxxFxyzxyzr这个6重积分是在由111222(,,,,,)xyzxyz构成的六维区域12VVV上的积分.影也是类似的积分.§7n重积分物理背景定义计算引力在y轴和z轴上投这就是n重积分的应用背景.先定义n维区域的体积.1.最简单的n维区域是n维长方体1122[,][,][,],nnVabababV1122()()().nnbababa规定的体积为2.仿照可求面积概念那样建立n维域G的可求体积概念.内点的有限个n维长方体体积之和的上确界定义G下确界定义为的外体积,§7n重积分物理背景定义计算n重积分的定义G的有限个n维长方体体积之和的用覆盖G所包含的没有公共用为G的内体积,求体积的.外体积与内体积相等的区域称为可可以证明n维单纯形12120,0,,0,nnxxxxxxh和n维球体222212nxxxR的是可求体积的.3.设n元函数12(,,)nfxxx定义在n维可求体积的区域上.V§7n重积分物理背景定义计算极限的过程,便得到n重积分：11(,)dd.(1)nnnVIfxxxx4.n重积分也有与二重积分相仿的结论,若1(,)nfxx在有界闭区域V上连续,则n重积分(1)必存在.V照例通过对的分割、近似求和、取例如:计算n重积分的办法是把它化为重数较低的积分来计算.1122[,][,][,]nnababab时,1212121dd(,,)d.nnbbbnnaaaIxxfxxx当V由一组不等式11121221,()(),,axbaxxbx§7n重积分物理背景定义计算n重积分的计算如当积分区域是长方体则有1111(,,)(,,)nnnnnaxxxbxx表示时,则有1211112111()(,,)121()(,,)dd(,,)d.nnnnbbxbxxnnaaxaxxIxxfxxx设变换1112221212(,,,),(,,,),:(,,,),nnnnnxxxxTxx12nV把n维空间区域一对一地映射成n维§7n重积分物理背景定义计算12nxxx空间中的区域V,V上的函数行列式且在1111222212121212(,,,)0,(,,,)nnnnnnnnxxxxxxxxxJxxx则成立下列n重积分的换元公式：§7n重积分物理背景定义计算11(,,)ddnnnVIfxxxx111((,,),,(,,))nnnnVfxx12||ddd.nJ例1求5511()dd,nnnVIxxxx其中V为n维立方体:[0,1][0,1].§7n重积分物理背景定义计算511ddnninViIxxx111511000dddnnnnxxxx解利用对称性,有51dd.nnnVnxxx150d.6nnnnxx例2求n维单纯形1212:0,0,,0,nnnTxxxxxxh的体积.nT解12ddd.nnnnTTxxx作变换§7n重积分物理背景定义计算1122,,,,nnxhxhxh这里,nJh因此有112ddd,nnnnnnDThh其中1111(,,)|1,0,,0,nnnD111110ddd,(2)nnnnnT§7n重积分物理背景定义计算这里对积分(2)作变换1111(1),,(1).nnnn这时1(1),nnJ因此有11111(,,)|1,nnnnT110,,0.n11110(1),nnnnndn其中2111111(,,)1,0,,0.nnnD这是一个递推公式.1.!nn于是最后得到.!nnhTn§7n重积分物理背景定义计算2111110(1)dddnnnnnnD11,因此由于当n=1时,例3求n维球体222212nnVxxxR的体积.nV解22211dd.nnnnxxRVxx作变换11,,,nnxRxR这时,nJR因此有§7n重积分物理背景定义计算22111dd,nnnnnnnVRR22211111111ddd.nnnnnn其中重右端中的1n注意n是n维单位球体的体积,21n为半径的维球体的体积,积分表示以1n1221(1),nnn1n因而它应等于其中为维单1n§7n重积分物理背景定义计算位球体的体积,112211(1)d.nnnnn令cos,n又得一递推公式π2102sind.nnn于是有π20(21)!!π,2,(2)!!2sind(2)!!,21,(21)!!nmnmmmnmm由于§7n重积分物理背景定义计算和12,所以221π,2,!2(2π),21.(21)!!mmnnnmmRnmmVRRnmm2312342,π,π.3VRVRVR特别当时,1,2,3n有212sincos,xr3123sinsincos,xr11221sinsinsincos,nnnxr1221sinsinsinsin.nnnxr对此有12321232sinsinsinsin.nnnnnJr11,cosxr§7n重积分物理背景定义计算本题也可用n维球坐标变换求得,n维球坐标变换是指:ππ2π-1-2121n-2n-10000dddsinsindRnnnnVrrππ-2-31122001sindsindnnnRnπ2π22100sinddnnn这与上面结果完全一致.所以§7n重积分物理背景定义计算因为积分区域为12210,0,,,π,02π,nnrR12211111dd.nnnnnxxxxxx因n维单位球面的上半部可由方程确定,222211111()(1)nnnxxxxx维空间中的曲面,§7n重积分物理背景定义计算例4求n维单位球面的面积.解设11111(,,),(,,)nnnnxfxxxxR为n则其面积为221111,nnnnxxxxx又因2221211111dd1Δ2nnnxxxnxxSx2221211221111dd1()nnxxxnnxxxx221222122221221()1121()221112ddd.1()nnnxxnnxxxxxnnxxxxx1nxπ,由于最末对变量的积分等于所以上半球面的面积§7n重积分物理背景定义计算从而有222122122121Δπdd,2nnnxxxnSxx22212221212ddnnnxxxnxx2n其中为维单位球体体积,因而由例2得n维球面面积为n-22π,2,(-1)!2π2(2π),21.(21)!!mnmnmmSnmm§7n重积分物理背景定义计算1232,2π,4π.SSS特别当时，它们分别为1,2,3n试叙述n重积分的中值定理,并证明之.