第7章一阶电路和二阶电路的时域分析

2020年4月4日星期六1第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件7.2一阶电路的零输入响应7.3一阶电路的零状态响应7.4一阶电路的全响应7.5二阶电路的零输入响应7.6二阶电路的零状态响应和全响应7.7一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.8一阶电路和二阶电路的冲激响应7.10状态方程2020年4月4日星期六2第七章一阶电路和二阶电路的时域分析基本要求熟练掌握一阶电路的时域分析法；深入理解电路的初始值、时间常数、零状态响应、零输入响应、全响应、自由分量和强制分量等物理概念，并熟悉掌握其分析方法，重点掌握三要素法；正确掌握一阶电路过渡过程的变化规律，掌握一阶电路的冲激响应；了解二阶电路的时域分析法及二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的放电过程，掌握二阶电路的阶跃响应及零状态响应，一般了解二阶电路的冲激响应。会用系统法列写简单的状态方程。2020年4月4日星期六3与其它章节的联系本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。第七章一阶电路和二阶电路的时域分析2020年4月4日星期六4第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件引言自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状态转到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，在工程上称过渡过程。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi接通电源，C被充电，C两端的电压逐渐增长到稳态值Us，即要经历一段时间。电路中的过渡过程虽然短暂，在实践中却很重要。2020年4月4日星期六51.动态电路的基本概念含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描述动态电路的方程是微分方程。全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描述方程是线性常系数微分方程。只含一个动态元件(L或C)的电路，其描述方程是一阶线性常系数微分方程，称一阶电路。一阶电路有3种分析方法：1)经典法列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中进行的分析方法。第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件2020年4月4日星期六62)典型电路分析法记住一些典型电路(RC串联、RL串联、RC并联、RL并联等)的分析结果，在分析非典型电路时可以设法套用。3)三要素法只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。任意NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型电路重点掌握3，1、2两种方法可掌握其中之一。第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件2020年4月4日星期六72.换路及换路定则1)换路电路结构或元件参数的改变称为换路。换路是在t=0(或t=t0)时刻进行的。含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成。S24V+-(t=0)+LiL4W14W22W3W6H6W-uL12V+-i8W4Wt=0S纯电阻电路在换路时没有过渡期。第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件2020年4月4日星期六82）换路定则在换路前后：q(t)=q(t0)+tt0iC(x)dxq(0+)=q(0-)+0+0-iC(x)dx以t=t0=0作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为t=0_，换路后最初时刻记为t=0+。线性电容C的电荷0_到0+瞬间，iC(t)为有限值时，积分为0。q(0+)=q(0_)C上的电荷不能跃变！由q(t)=CuC(t)可知，当换路前后C不变时uC(0+)=uC(0-)C两端的电压也不能跃变！第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件2020年4月4日星期六9Ψ(0+)=Ψ(0-)L中的磁链不能跃变！由Ψ(t)=LiL(t)可知，当换路前后L不变时iL(0+)=iL(0-)L中的电流也不能跃变！同理可得：q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)换路定则表明(1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。(2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒定律的体现。第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件2020年4月4日星期六103.初始值的计算解：换路前的“旧电路”求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。1.由换路前的“旧电路”计算uC(0_)和iL(0_)。iC(0_)=0，C视为开路。uL(0_)=0，L视为短路。iL(0-)=12AiL(0+)=uC(0+)=R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48Vi由等效电路算出第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件uC(0-)=24V2020年4月4日星期六112.画出t=0+等效电路：电感用电流源替代，电容用电压源替代。iC(0+)=48-243=8AuL(0+)=48-2×12=24VR1+-U0SR2iLiC12A+-uL+-R33W2W2W48V24ViiL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24Vi(0+)=iL(0+)+iC(0+)=12+8=20At=0+时刻的等效电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件2020年4月4日星期六12零输入响应：在电源激励为零的情况下，由动态元件的初始值(≠0)引起的响应。1.RC电路SR+-uC(t=0)i+-uRU0SR+-uC(t≥0+)i+-uRU0换路后的“新电路”i=ducdt-C=Riducdt=-RC由KVL得：ducdtRC+uC=0uR分析RC电路的零输入响应，实际上是分析其放电过程。一阶齐次微分方程第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.2一阶电路的零输入响应2020年4月4日星期六13t=RC称RC电路的时间常数。若R取Ω，C取F，则t为s。t的大小，反映uC的变化快慢：t越大，uC衰减越慢。SR+-uC(t≥0+)i+-uRU0p=-RC1通解uC=Ae1RC-t由初始条件uC(0+)=uC(0—)=U0得：uC=U0e=U0et-t1RC-t，t≥0touCt2t3tU0τ的图解ducdtRC+uC=0特征方程特征根RCp+1=0第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.2一阶电路的零输入响应2020年4月4日星期六14t=0，uC=U0t=t，uC=U0e-1≈0.638U0在理论上，要经过无限长时间，uC才能衰减到0。在工程上，认为经过3τ～5τ时间，过渡过程即告结束。touCt2t3tU00.368U00.05U0uC=U0et-tt=3t，uC=U0e-3≈0.05U0t=5t，uC=U0e-5≈0.007U0uR=uC=U0et-tSR+-uC(t≥0+)i+-uRU0,uRi=ducdt-C=RU0t-teWR=∞0i2(t)Rdt=∞0RU022RC-tedt=21CU02C储存的能量全被R吸收，并转换成热能消耗掉。RU0i第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.2一阶电路的零输入响应2020年4月4日星期六15例：试求t≥0时的i(t)。换路后，C通过(R1//R2)放电，Req=R1//R2=2W。所以τ=ReqC=2s引用典型电路结果：uC(0-)=2+4+410×4=4V根据换路定则：uC(0—)=uC(0+)=4VR2+-uC4W4WC1Fit≥0SR1uC=uC(0+)et-t=4e-0.5tVi=-21RequC=-e-0.5tA解：(t≥0)(t≥0)2WSR2+-(t=0)+-uC4WR14WC1F12R10Vi第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.2一阶电路的零输入响应2020年4月4日星期六162.RL电路由KVLuL+uR=0SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0R(t≥0)LuL+-iS2+-uRdiLdt+Ri=0didtL+i=0Ri(0+)=i(0-)=R0U0i(t)=i(0+)e=R0U0t=RL为RL电路的时间常数。t-te[s]=[W][H]t-t得i(t)解之代入初试条件基本形式：i(t)=I0eτ-t(t≥0)第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.2一阶电路的零输入响应2020年4月4日星期六17电阻和电感上的电压分别为：R(t≥0)LuL+-iS2+-uRRI0uRtoi,uR,uLiI0uL-RI0uR=Ri=RI0euL=-uR=-RI0edidtL或者：uL==-RI0ei(t)=I0et-tt-tt-tt-t，(t≥0)，(t≥0)，(t≥0)第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.2一阶电路的零输入响应2020年4月4日星期六183.例题分析P144例7-2试求：τ；i(0+)和i(0-)；i(t)和uV(t)；uV(0+)。VS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V某300kW汽轮发电机励磁回路的电路模型t=R+RVL=0.189+5×1030.398=79.6(ms)i(0-)≈RU=0.18935=185.2Ai(t)=185.2e-12560tAuV(t)=-RVi(t)=-926e-12560tkVuV(0+)=926kV!t≥0+实践中，要切断L的电流，必须考虑磁场能量的释放问题。解：i(0+)=i(0+)=185.2A第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.2一阶电路的零输入响应电压表的量程才50V。2020年4月4日星期六19零状态响应：在动态元件初值为0的状态下，外施激励引起的响应。1.RC电路由KVL：uR+uC=USSUS+-(t=0)+-uCRC+-uRiuR=Riducdt=RCducdtRC+uC=US常系数非齐次线性方程对应的齐次方程：其解为：uC=u'C+uC通解：uC=Ae1RC-t特解：u'C=US所以：uC=US+AeducdtRC+uC=01RC-t第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.3一阶电路的零状态响应2020年4月4日星期六20代入初值：uC(0+)=uC(0_)=0求得：A=-US所以零状态响应为uC=US(1-e)，t-tuC''稳态分量uC'瞬态分量ducdti=C=RUSet-tiSUS+-(t≥0+)+-uCRC+-uRiducdtRC+uC=USuC=US+Ae1RC-tt=RCuC=uC+uCUStouC,iRUS-US'''uC=US-USet-t第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.3一阶电路的零状态响应2020年4月4日星期六2121电源提供的能量：W=∞0USi(t)dt=CUS2WR=∞0i2(t)Rdt=CUS2t=RCducdtRC+uC=USuC=US+Ae1RC-tducdti=C=RUSet-tSUS+-(t≥0+)+-uCRC+-uRi结果表明：电源提供的能量只有一半转换为电场能量存储于C中，另一半在充电过程中被R消耗掉。不论RC的值是多少，充电效率总是50%。第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.3一阶电路的零状态响应电阻吸收的能量：2020年4月4日星期六222.RL电路的零状态响应(1)激励是恒定直流换路前：iL(0+)=iL(0_)=0换路后：iR+iL=ISSRL+-ISuLt=0iRiL(t≥0+)iR=uLR=LRdiLdtLRdiLdt+iL=ISLRt=解得：iL=IS(1-e)t-t代入式中：第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.3一阶电路的零状态响应2020年4月4日星期六23+(wL)2(2)激励是正弦电压设us=Umcos(ωt+yu)则LdiLdt+RiL=