有限元第四章-杆系结构的整体分析

第4章杆系结构的整体分析•坐标变换由局部坐标下的单元刚度矩阵和单元等效节点荷载矩阵，通过坐标转换形成整体坐标下的单元刚度矩阵和等效荷载矩阵。•集成规则用最小势能原理（或虚位移原理）建立结构的的整体刚度方程，并有次导出直接刚度法的集成规则。•约束处理采用先处理法或后处理法进行边界约束处理，使结构的边界已知位移得以自动满足。•解方程选取与整体（结构）刚度矩阵存贮方法相应的线性方程组，求得结构的结点位移。•求内力从结构全部结点位移中取出单元的结点位移，经坐标转换变成局部坐标下杆端位移，在由单元刚度方程求得杆端内力，进一步还可求出反力和截面内力，为结构设计提供数据。本章包含的内容4-1坐标转换在讲结构离散时，需要建立二套坐标杆系：杆轴为另两轴为惯性主轴的局部坐标。整个结构统一的笛卡尔坐标。上一章单元分析是在局部坐标下进行的，而实际结构的中的每个杆件（也即单元）方位除了连续梁之外各不相同，要考虑结点位移协调、受力平衡，很自然应该用统一的结构整体坐标系。显然，二套坐标下对应的物理量必然存在相互转换关系，在进行具体整体分析之前应该将局部的量转换成整体的量，或将整体的量转换成局部的量。这项工作称为坐标转换。xxyzXYZe1e1Oe2e3e2e34-1-1坐标系单位矢量间的转换关系图4-1两坐标系及单位矢量示意图4-1为同原点两坐标系示意（非同原点额可经过坐标平移变成同原点的，坐标的平移对转换关系无影响）。由矢量代数可以得到两组坐标单位向量的转换关系为：'''1111122133'''2211222233'''3311322333'1111122133'2211222233'3311322333eleleleeleleleeleleleeleleleeleleleelelele（4-1）以矩阵方程表示则有''111121311''221222322''331323333'111213111'212223222'313233333Tellleeellleeellleeellleeellleeellleeλλ（4-2）矩阵即为变换矩阵。显然，对直角坐标系，从图4-1和上式可得λ1Tλλ（4-3）也即变换矩阵是正交矩阵。基于上述关系，设、两矢量在图示两坐标下可表为ab3333''''1111,iiiiiiiiiiiiaabbaeebee显然有以下结论：''''123123'''',TTTTaaaaaaaλaλaλ0ab0λbaaλ0a=λabb0λ（4-6）（4-5）（4-4）4-1-2各单元物理量的转换符号约定：局部坐标下的物理量加上画线来标记；整体坐标下的物理量没有上画线。1、位移转换各类单元位移转换根据4-1-1均可写作式中:味为整体坐标下的单元杆端位移矩阵，则为局部坐标下的单元杆端位移矩阵，称为位移变换矩阵或坐标变换矩阵。除了空间刚架自由式单元外它们均可以写作eeTδδ（4-7）λ00λTTeδ（4-8）eδ坐标变换矩阵因单元类型不同而异。1.1平面桁架单元y2δδxx1δ图4-2平面桁架位移示意由图4-2杆端位移（图中整体到局部坐标之间的夹角逆时针为正）示意可得sincos1211llλ（4-9）1.2空间桁架单元y2δδx1δxz3δ图4-3空间桁架位移示意由图4-3杆端位移示意可得131211lllλ（4-10）1.3平面自由式单元y2δ1δx1δxzz,y332由图4-4杆端位移示意可得图4-4平面自由式单元位移示意1000cossin0sincos1000022211211llllλ（4-11）1.4交叉梁单元y3δ2δx2δxzz,y113由图4-5杆端位移示意可得图4-5交叉梁单元位移示意cossin0sincos00010000122211211llllλ（4-12）1.5空间刚架自由式单元特点1：每个节点有沿单元坐标轴方向的两组位移向量，即线位移（ui、vi、wi）和角位移（xi、yi、zi）。它们都需要坐标变换。空间梁单元与空间杆单元相比，有以下两个特点：因此，坐标变换矩阵应为λ0000λ0000λ0000λT（4-13）特点2：空间梁单元单元坐标系中的y、z轴是单元横截面上的两个惯性主轴，可能是不能任意确定的，因而无法保证z轴一定在水平面内，即在结构坐标系中的XZ平面内。这就导致[]矩阵的计算变得比空间杆复杂得多。但有两种情况可以空间杆单元的[]矩阵。①具有轴对称截面的梁单元截面内过形心的任一根轴皆可作为惯性主轴。因而，恒可将z轴取在水平面内。对于竖直空间梁单元，也可使z轴与结构坐标系的Z轴重合。因而可用竖直铰接杆单元的[]矩阵。②截面有一根惯性主轴轴在水平面内对于没有截面惯性主轴在水平面内的空间梁单元，就不能使用空间铰接杆单元[]矩阵。选择结构坐标系XYZ，单元坐标系xyz。并使：x轴沿i→j，y、z是梁截面的两个惯性主轴。XYZxyz(b)1e3e2e在单元坐标系的3个坐标轴上分别取3个单位矢量：e1、e2、e3。结构坐标系中3个坐标轴上的单位矢量为i1、i2、i3。yzXYZ(a)xXYZxyz3e2e3132121111ililile3232221212ililile3332321313ililile若e1是已知的。现在只须计算e2、e3。为此，在主惯性平面xy上任取一参考点k，k点不能在x轴上，k点在结构坐标系中的坐标记为（Xk、Yk、Zk）。ij1e·k沿线段ik方向取单位向量g，g在结构坐标系中的3个方向余弦是：gkikkikkikDZZgDYYgDXXg321,,222)()()(ikikikkZZYYXXD因z轴与xy平面垂直，故有gegee113（a）再从右手螺旋直角坐标系条件确定e2，（b）132eee下面，用式（a）、（b）计算各有关值。3211312113211gggllliiige312111221131311132123)()()(ilglgilglgilglg记则332211113iAAiAAiAAgegee11213121321211,lglgAlglgA2322211211123,AAAAlglgA故AAlAAlAAl/,/,/333232131（c）最后，用式（b）计算。131211333231321132lllllliiieee311321231213311133112331332)()()(illllillllillll把式（c）代入后，得AlAlAlAlAlAlAlAlAl/)(/)(/)(112121231311132212313221333231232221131211lllllllllλ（4-14）综合上述结果，一般空间单元的[]矩阵为：推导过程只需了解。式（4-13）和式（4-14）分别是空间位移变换矩阵和空间坐标变换矩阵。1.6有约束单元1000cossin0sincos1000022211211llllλcossinsincos222112111llllλ1λ00λTλ00λT1对一端有力矩为零（铰接）约束的单元来说，可有以下变换矩阵先固后铰单元先铰后固单元（4-15）（4-15）2力的转换由于杆端位移和杆端力是一一对应，图4-2至图4-5中的位移均换成，则立即可得到各单元iFiδeETeEeETeEeTeFFTFFFTFFTFeeTeETeEδkTFFTFFeeTeeTeETδkTδkTFFTkTkeTeeeeEδkFF或（4-18）（4-19）自式（4-19）出发，考虑到局部坐标的单元刚度方程，则有3单元刚度方程的转换再将式（4-17）位移转换广西代入上式，则如果记为整体坐标单元矩阵则有即为整体坐标单元刚度方程。（4-20）（4-21）4-1-3整体单元刚度矩阵举例【例题4-1】试求例题3-1桁架中①、②两单元的整体坐标单元刚度矩阵。①②解：①单元10001100010λT，　　，因此，根据式（4-20）可得整体坐标单元刚度矩阵成为44的矩阵。实际也即在局部坐标单元刚度矩阵基础上，添加坐标y方向位移所对应得第二、四行和列元素全部为零。51010101000000000610/1010101000000000EAkNmlk①②单元45cossin,osλ，若引入记号c=、则c　　s,根据矩阵乘法可得2222522221111c11112.1213210/111121111csccscsscssEAkNmccsccslcsscssk②由计算过程可知，任意倾角时的桁架单元整体坐标单元刚度矩阵为22,ccsEAlcsst-tkt-tte（4-22）【例题4-2】试求图3-17所示但考虑轴向变形的钢架中①、③两单元的整体坐标单元刚度矩阵，67.210EAkN12①②③xy343m4m5m解：根据考虑轴向变形的局部坐标自由式单元的单元刚度矩阵式（3-33）323222323222000012612600646200000012612600626400EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllke１１２１３１４２５２６２ｕ＝ｖ＝＝ｕ＝ｖ＝＝由此①、②单元局部坐标下的单元刚度矩阵分别为kNkNkNkNkNkNkNkNkNkNkNkNkNkNkNkNk①144/m00-144/m0002.0736/m5.1840-2.0736/m5.18405.18417.28kNm0-5.1848.64kNm＝-144/m00144/m000-2.0736/m-5.18402.0736/m-5.18405.1848.64kNm0-5.18417.28kNm4104kNkNkN8.1kNkNkNkNkN10kNkNkNkNkNkNkNkNk③180/m00-180/m0004.05/m0-4.05/m8.108.121.6kNm0-8.110.8kNm＝-180/m00180/m000-4.05/m-8.104.05/m-8.108.110.8kNm0-8.121.6kNmcos0.6sin0.853.13,o、cos0sin190.o、①单元③单元由此可得坐标转换矩阵分别为00100,100001001eλ0Tλλ0λ①②0.60.8，＝-0.80.6由刚度矩阵坐标转换公式eTekTkT,作矩阵乘即可得