2019年绵阳中学自主招生考试

绵阳中学和绵阳中学实验学校2019年自主招生考试数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由笫I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)组成，共6页：答题卡共6页.满分150分.考试时间120分钟，注意事项：1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名用钢笔或黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并核对相关信息是否一致.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用钢笔或0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡和试卷、草稿纸一并交回.第Ⅰ卷(选择题，共48分)一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.下列图形中，中心对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.实数π，23，325，5cos60°中，最大的数是()A.πB.23C.325D.5cos60°3.下列运算正确的是()A.(a-1)2＝a2B.a6÷a2＝a3C.a3·a2＝a6D.(ab2)2＝a2b44.等腰三角形的两边长a，b满足235ab＋|2a＋3b－13|＝0，则等腰三角形的周长为()A.7B.8C.7或8D.6或105.若x2－x＋1＝0，则x3－1的值为()A.－2B.－1C.0D.26.从－1，2，3，－6四个数中任选两数，分别记作m，n，则点(m，n)在函数y＝6x的图象上的概率是()A.15B.14C.13D.127.如图，将半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB绕着点A逆时针方向旋转60°，则图中阴影部分的面积为()A.2233cmB.233cmC.23cmD.23cm8.在△ABC中，BC＝20，BC边上的高h＝10，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连接DE,DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积y与x的函数图象大致为()A.B.C.D.9.某校举行中学生足球联赛，每队均需参赛17场，记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，在这次足球比赛中，如果某足球队最终积分为16分，且踢平场数是所负场数的k倍(k为正整数)，则k的可能取值有()A.4种B.3种C.2种D.1种10.如图，在平面直角坐标系中按一定规律依次作出正方形，点B1在y轴上且坐标是(0，1)，点C1、M1、M2、C2、M3、M4在x轴上，C1的坐标是(2，0),B1C1∥B2C2，则点A2019到x轴的距离是()A.22017B.22018C.3×22017D.3×2201811.关于x的方程kx2＋(k＋1)x＋k－1＝0的根都是整数，则满足条件的k值有()A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FB平分∠AFE，则sin∠ABF＝()A.14B.1010C.13D.21313第Ⅱ卷(非选择题，共102分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案直接填写在答题卡的横线上.13.计算：3224263＝.14.若(2x－a)2＝4x2－bx＋4对任意实数x都成立，则|a＋b|＝.15.要测量一条河的宽度，如图所示，河岸EF∥MN，首先在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向；然后沿河岸走了20米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，同时测得CD＝10米，则河的宽度为米.(结果保留根号)16.线段AB的两个端点分别是A(2，3)，B(3，0)，将线段AB绕着点C(1，2)顺时针方向旋转90°后，点B对应的点B′的坐标是.17.已知菱形ABCD的边长为24，点E为BC的中点，DE交对角线AC于点M，∠BAC＝∠CDE，则AM＝.18.对于任意实数对(x，y)，不等式ay2－xy＋bx2≥0恒成立，且满足a2＋b2＝1.当ab取最小值时，a＋b＝.三、解答题：本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本题满分8分)某中学九年级460名学生参加了旅游地理知识竞赛，老师为了解本年级学生对旅游地理知识的掌握情况，从中随机抽取了40名学生的测试成绩作为样本，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A、B、C、D表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表(部分信息如下)：等级成绩(分)频数(人数)频率A90~100100.25B75~89mXC60~74nyD60以下20.05合计401.00图表提供的信息，解答下列问题：(1)m＝,n＝，x＝,y＝;(2)在扇形统计图中，C等级所对应的圆心角是度；(3)请你估计该校九年级学生成绩等级达到优秀和良好的共有多少人？20.(本题满分10分)先化简，再求值：222211121xxxxxxxxxx，其中x不是等式组371215xx的整数解.21.(本题满分10分)某商家计划从厂家采购电脑主机和显示器两种产品共30台，电脑主机的采购单价y1(元，台)与采购数量x1(台)满足y1＝－30x1＋2100(0＜x1≤20，x1为整数)；显示器的采购单价y2(元／台)与采购数量x2(台)满足y2＝－20x2＋1800(0＜x2≤20，x2为整数).(1)经商家与厂家协商，采购电脑主机的数量不少于显示器数量的107，且电脑主机采购单价不低于1500元，问该商家共有哪几种进货方案？(2)该商家分别以2300元／台和1900元／台的销售单价售出电脑主机和显示器，且全部售完.在(1)的条件下，问采购电脑主机多少台时总利润w最大？并求w的最大值.22.(本题满分12分)如图，点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在弧BAD上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°，连结CD.(1)求证：BC⊥CD;(2)若AC＝2，求BC＋CD的值.23.(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n(m≠0)与反比例函数.y＝kx(k＞0)的图象在第一象限交于不同两点A(4，a)，B(b，3).(1)当k＝2时，求一次函数的解析式，并计算△OAB的面积；(2)在x轴上是否存在点C，使得∠ACB＝90°，且AC＝3－4k,若存在，求出点C的坐标及反比例函数的解析式；若不存在，请说明理由.24.本题满分12分如图，⊙C在第一象限内，半径为32，与y轴切于点A(0，4)，AD为⊙C的直径.过点D作⊙C的切线l交x轴子点B，P为直线l上一动点(不与B重合)，作直线PA与⊙C交于点M,线段AB与⊙C交于点N，连接MN.(l)证明：△AMN∽△ABP;(2)设直线PA的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，当△AMN的面积等于2725时，求k的值.25.(本题满分14分)如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝x－4与x轴交于点B，过原点和B点的抛物线与直线y＝x－4交于另一点A，且点A的横坐标为1.点p是线段AB上一动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PE∥OA交第四象限内的抛物线于点E，过点E作EF⊥x轴于点F,交AB于点M，过点P作PH⊥EF于点N，设PH的长为t.(1)求抛物线的解析式；(2)用含t的式子表示线段ME的长度；(3)设△BMF与△PME的面积分别为S△BMF、S△PME，当S△BMF＝S△PME时，连接OM，点K在线段AP上，过点K作KN⊥EF交OM于点R，连接EK，AR.当∠EKR－∠ARM＝45°时，求OR的长度.第(2)小题图第(3)小题图