空间想象力在数学解题中的应用

空间想象力在数学解题中的应用一、空间想象力的相关知识空间想象力是人们对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力，培养学生的空间想象力是中学数学教学的主要任务之一，同时也是难点之一．它主要包括下面三个方面的内容：（1）能根据空间几何形体或根据表述几何形体的语言、符号，在大脑中展现出相应的空间几何图形，并能正确想象其直观图．（2）能根据直观图，在大脑中展现出直观图表现的的几何形体及其组成部分的形状、位置关系和数量关系．（3）能对头脑中已有的空间几何形体进行分解、组合，产生新的空间几何形体，并正确分析其位置关系和数量关系．提高空间想象力有以下六个步骤：步骤一：强化对三维空间的认知．学生对二维空间（平面）的知识接受较快，对三维空间的感知也有，但不够完整．因此，通过对直线的无限延伸、平面的无限延展性的认识；通过比较平面内与空间中两直线位置关系的不同；通过认识线面关系、面面关系来强化学生对三维空间的认识就显得尤为重要．步骤二：培养由实物模型出发的空间想象能力．通过展现立体几何教学模型或认识生活中的模型(如楼层)，并让学生想象看不见的部分，想象线面继续延伸、延展之后的情况，有助于培养学生的空间想象力步骤三：作图能力的培养．作空间图形的直观图，实质是空间图形的平面化表示，其原则是看起来要“像”．作图要规范，因为规范作图实际上是对“如何作几何体的平面图”与“平面图如何看（想象）成体”这两个问题的大众化的统一回答．步骤四：由直观图出发的空间想象能力．这一过程要分两步走：第一步是先根据平面图找模型，再依据模型来想象．当第一步达到一定熟练程度之后，便实施了第二步，即直接根据平面图出发进行空间图形（体）的直观形象的想象．制作模型是培养空间想象力是一项非常有益的活动．步骤五：由条件出发的空间想象力．即由描述几何形体的条件就可以想象出空间图形（体）的直观形象的能力．这一能力分成两个层次：第一层次是根据描述几何形体的条件作出直观图（或找模型），再根据直观图（或模型）想象出几何形体的直观形象；第二层次是直接由条件出发进行直观形象的想象．步骤六：培养学生对空间图形(体)的分解，组合和变形的想象能力．这一能力的实质是对空间图形中点、线、面的位置关系与数量关系的认识与想象．二、空间想象力的解题应用（一）寻找顶点，补全图形例1直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点B、C，如果点D在直线BC上，在平面直角坐标系中再求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．分析：点B（4，0），C（0，4），则OB=4．在所求的菱形中,从点O出发有OB、OD、OP三条线段，其中一条是对角线，二条是菱形的边．如果OP是对角线，则另一对角线是BD(如图1）．图1这时，点P与点O关于直线BC对称，因此，可有点P1（4，4）．如果OB是对角线，则另一对角线是DP（如图2）．直线DP是线段OB的垂直平分线x=2，它与直线BC交于点D2（2，2）．图2点P2与D2关于直线OB对称，坐标为P2（2，—2）．如果OD是对角线,则OP∥BD，即OP∥BC，故点P在直线y=—x上（如图3）．图3由OP=OB=4，可求出点P3（—，），P4（，—）．（二）由简到繁，扩展图形例2在同一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点,那么8条直线两两相交，最多有个交点．分析：画出这个图形有难度，但是我们可以想象直线由少到多，图形由简到繁的扩展演变过程，从而推出结论．如果在平面内先画1条直线，那么，画第2条直线时，与前1条直线最多得到1个交点；画第3条直线时，与前2条直线最多增加2个交点；……；画第8条直线时，与前7条直线最多增加7个交点．则8条直线两两相交,交点个数最多为1+2+3+…+7=28（个）．（三）解剖图形，探索关系例3如图4，在2×2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称，且也以格点为顶点的三角形．图4分析：先想象图中与△ABC全等的直角三角形有哪几个？（其直角边长分别为1和2,共15个）再分别检查这些直角三角形是否与△ABC轴对称．于是找到这样的三角形共5个，即△EBD、△CFA、△FCB、△AGE、△DHC．（四）按照要求，分割图形例4将8个边长为1的正方形拼成如图5形状，要求过点P作一条直线l将该图形分割成面积相等的两部分，请在图中确定直线l的位置．图5分析：想象直线l绕点P旋转,当l与线段CG（或DH、DE）相交时，图形所分成两部分的面积不能相等．当直线l与线段CH相交于M，与AK相交于N时，设MH=t，则CM=1—t．由△MHP△NKP，得NK=2t，则NB=1+2t.故S梯形MNBC=BC(CM+NB)=(t+2).令S梯形MNBC=4,得t=,由此可以确定直线l的位置.