第二章-一元函数微分学测试卷

第二章一元函数微分学测试题（A）一、选择题：（每小题3分，共计15分）1．设()fx在0xx可导，则下列各式中结果等于0()fx的是（）A．000()()limxfxfxxx；B．000()()limxfxxfxxC．000(2)()limxfxxfxx；D．000(2)()limxfxxfxxx．2．函数()1fxx（）A．在1x处连续可导B．在1x处不连续C．在0x处连续可导D．在0x处不连续3．设xxy,则y（）A．)1(lnxxxB．)1ln(xxxxC．xxxlnD．xx4．若函数()fx在,ab上连续，在),(ba内可导，且（）时，则在,ab内至少存在一点，使0)(f成立．A．()()fafb；B．()()fafb；C．0)()(bfaf；D．0)()(bfaf．5．若()fu可导，且()xyfe，则有dy（）A．()xfedx；B．()xxfede；C．[()]xxfede；D．[()]xxfeedx．二、填空题（每小题3分，共计15分）1．已知2lnsinyx，则y；2．求极限：1lim1lnxxxxxx；3．已知曲线方程为2323xttytt，则()yx；4．已知函数410()3fxxe，则(10)y；5．曲线lnsecyx在点(,)xy处的曲率半径为；三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)limcotxxarcx2．tan0limxxx3．201tan1sinlimln(1)xxxxxx4.已知2ln(1)yxx=--，求()yx¢5.已知yxxy，求dydx四、解答题（每题8分，共40分）1、设曲线)(xfy与xysin在原点处相切，求极限)2(limnnfn2、当20x时，证明xxxsin2.3.若曲线32yaxbxcxd在点0x处有极值0y，点(1,1)为拐点，求,,,abcd的值.4.已知221sin,0()0,01sin,0xxxfxxxxxìïïïïïïï==íïïïïïïïî，讨论()fx的连续性与可导性.5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？参考答案：一、选择题：（每小题3分，共计15分）1-5．DCAAC二、填空题（每小题3分，共计15分）1．22cotxx；2．2；3．34(1)t；4．0；5．232sec(1tan)xx三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)limcotxxarcx222211()11ln(1)11:limlimlim1cot122limlim1212xxxxxxxxxarcxxxxxx解2．tan0limxxxtan200002001ln:limlimexptanlnexplimexplimcotcscsinexplim1xxxxxxxxxxxxxxex解3．201tan1sinlimln(1)xxxxxx00000tansin:lim(1tan1sin)ln(1)1tan1coslimln(1)(1tan1sin)11cos1sinlimlim12ln(1)2111sin(1)1lim22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解原极限4.已知2ln(1)yxx=--，求()yx¢21222222111(1)2112:111xxxxxyxxxxx解5．已知yxxy，求dydx::lnlnlnlnlnlnlnlnyxxyyyyxyxxyyyxyyxyxyxxxy解两边取对数得四、解答题（每题8分，共40分）1、解:因为曲线)(xfy与xysin在原点处相切,000,sin0(0)0,cos1,(0)1xxxyfyxf当时且则002()22lim()lim2()2lim222()()()(0)limlimlim(0)1202()2lim()2lim22nnnnxxnnfnnnffnnnffxfxfnfxxnfnnfnn2、sin,(0,]:()21,0xxfxxx证明构造函数2cossin()[0,](0,),(0,),()0222xxxfxxfxx在上连续.在内可导且对于总有2sin()[0,],(0,),()()(0)1,2222s2sinn1,i#xfxxffxfxxxxxx在上单调递减所以有即所以3.32:00,yaxbxcxdxy解在处有极值232,(0)0,(0)=0(1,1)62(1)=620(1)113,2213,,0,022yaxbxcycydyaxbyabyabcdababcd为拐点,解得4.已知221sin,0()0,01sin,0xxxfxxxxxìïïïïïïï==íïïïïïïïî，讨论()fx的连续性与可导性.00002220202:(00)lim(00)lim(00)(00)(0)0()0,R(0)lim1sin01sin01sin01sin01sin0lim0(0)lim1sinlim0()0xxxxxxffffffxxfxxxxxxxxxfxxxxfxx解所以在处连续从而在上处处连不存在在所以续处不可导5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？:,.744121610162(12)2(12)012,0,12,nxzynxzxnxnnynzynzynyzny解设每日来回次每次拖只小船每只小船的运货量为则一天的运货总量为令得故时最大所以每日来回12次,每次拖6只小船能使运货总量达到最大.一元函数微分学测试卷（B）一、单项选择题：（每小题3分，共计15分）1．设()fx在xa=可导，则0()()limxfaxfaxx®+--=（）A．()fa¢B．2()fa¢C．()fx¢D．(2)fa¢2．下列结论错误的是（）A．如果函数()fx在xa=处连续，则()fx在xa=处可导B．如果函数()fx在xa=处不连续，则()fx在xa=处不可导C．如果函数()fx在xa=处可导，则()fx在xa=处连续D．如果函数()fx在xa=处不可导，则()fx在xa=处也可能连续3．在曲线lnyx与直线xe的交点处，曲线lnyx的切线方程是（）A．0xeyB．20xeyC．0exyD．0exye4.若函数()fx在,ab上连续，在),(ba内可导，则()fx在,ab内（）A．只有一实根B．至少有一个实根C．至少有两个实根D．没有实根5．2cos2yx，则dy()A．2(cos2)(2)xxdxB．2(cos2)cos2xdxC.2cos2sin2xxdxD.2cos2cos2xdx二、填空题（每小题3分，共计15分）1．已知1arctan1xyx，则y；2．求极限：21sin(1)lim1xxx；3．已知曲线方程为cossinxatybt，则()yx；4．已知函数lnyxx，则(10)y；5．椭圆2244xy在点(0,2)处的曲率为；三、计算题（每题5分，共30分）1．求011lim()1xxxe®--2．求()10lim1sinxxx®+3．3011lim1cossinxxxx®+---4.已知xxxxeeyee---=+，求()yx¢5.已知lnyxy，求dydx四、解答题（每题8分，共40分）1、设220ln(1)lim2xxaxbxx®+--=，求,ab的值.2.已知4321yxx，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.3、已知221sin,0()0,0xxfxxxìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()fx的连续性与可导性.4.设()fx在0,a上连续，0,a内可导，且()0fa，证明：存在一点(0,)a，使得()()0ff5.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8m,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角最大)?参考答案：一、单项选择题：（每小题3分，共计15分）1-5BAABD二、填空题（每小题3分，共计15分）1．211x；2．2；3．cotbta；4．98!x；5．2三、计算题（每题5分，共30分）1．求011lim()1xxxe®--000001111lim()limlim1(1)(1)11limlim112xxxxxxxxxxxxxxxexexexeexeeeexex解：----==---+===++++2．求()10lim1sinxxx®+()()1000101ln(1sin)lim1sinlimexp[ln1sin]explimsinexplimxxxxxxxxxxxeex解：®++=+====3．3011lim1cossinxxxx®+---1.41.833300022001112limlimlim1sin1cossin(sin)236limlim61cossinxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：+-==----===-4.已知xxxxeeyee---=+，求()yx¢22()()()()4()()()xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeyxeeee解：------++---¢==++5.已知lnyxy，求dydxln111yxydydydxydxdyydxy解：=+=+=-四、解答题（每题8分，共40分）1、设220ln(1)lim2xxaxbxx®+--=，求,ab2200002220002012ln(1)1limlim22120lim[2]011lim[2]1111212ln(1)(1)1limlimlim22215lim22(1)2xxxxxxxxabxxaxbxxxxxxabxxabxxbbxxaxbxxxxxbx解：且当为无穷小，即®®®--+--+==甛--=+=-=+----+--++\===-\=-=-+2.已知4321yxx，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.43322122:21462(23)300,2121212(1)0,01yxxyxxxxyxxyxxxxyx解令得驻点为时或x(-,0)0(0,1)13(1,)2323(,)2y-0---0+y+0-0+++y凹减拐点(0,1)凸减拐点凹减极小值点311(,)216凹增33311(,),(-,),(,)22216(-,0)(1,),(0,1),(0,1)(1,0).单调增区间为单调减区间为极小值点为凹区间为及凸区间为拐点为及3、已知221sin,0()0,0xxfxxxìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()fx的连续性与可导性.22002220001:lim()limsin0(0)0()0,()R1sin0()(0)1(0)limlimlimsin00()0,()R.xxxxxfxxxffxxfxx