2008高考福建数学理科试卷含详细解答

安徽高中数学年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)若复数2(32)(1)aaai是纯虚数，则实数a的值为A.1B.2C.1或2D.-1解：由2320aa得12a或,且101aa得2a（纯虚数一定要使虚部不为0）(2)设集合{|0}1xAxx,{|03}Bxx,那么“mA”是“mB”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由01xx得01x,可知“mA”是“mB”的充分而不必要条件(3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若151,16aa,则数列{}na前7项的和为A.63B.64C.127D.128解：由151,16aa及｛an｝是公比为正数得公比2q，所以771212712S(4)函数3()sin1()fxxxxR,若()2fa，则()fa的值为A.3B.0C.-1D.-2解：3()1sinfxxx为奇函数，又()2fa()11fa故()11fa即()0fa.(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C.192625D.256625解：独立重复实验4(4,)5B，22244196(2)55625PkC安徽高中数学(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.63B.265C.155D.105解：连11AC与11BD交与O点,再连BO,则1OBC为BC1与平面BB1D1D所成角.111OCCOSOBCBC，12OC，15BC121055COSOBC(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48解：6人中选4人的方案4615C种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种(8)若实数x、y满足100xyx则yx的取值范围是A.(0,1)B.0,1C.(1,+)D.1,解：由已知1yx，111yxxxx，又0x，故yx的取值范围是(1,)(9)函数()cos()fxxxR的图象按向量(,0)m平移后，得到函数'()yfx的图象，则m的值可以为A.2B.C.－D.－2解：()sinyfxx,而()cos()fxxxR的图象按向量(,0)m平移后得到cos()yxm,所以cos()sinxmx，故m可以为2.(10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若222(a+c-b)tanB=3ac,则角B的值为A.6B.3C.6或56D.3或23安徽高中数学解：由222(a+c-b)tanB=3ac得222(a+c-b)3cos=22sinBacB即3coscos=2sinBBB3sin=2B,又在△中所以B为3或23(11)双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,解：如图，设2PFm，12(0)FPF，当P在右顶点处，222(2)4cos254cos2mmmceam∵1cos1，∴1,3e另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.也可用焦半径公式确定a与c的关系。(12)已知函数(),()yfxygx的导函数的图象如下图，那么(),()yfxygx图象可能是解：从导函数的图象可知两个函数在0x处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出()yfx的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快.安徽高中数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）若55432543210(2)xaxaxaxaxaxa,则12345aaaaa(用数字作答)解：令54321011xaaaaaa得，令0x得0032xa得所以5432131aaaaa(14)若直线340xym与圆1cos2sinxy（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是解：圆心为(1,2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得22312(4)134mdr，即55m，m（-，0）（10，+）（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.23333r,249Sr（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、ab∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集2,FababQ也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集QM，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填填上）解：①对除法如12Z不满足，所以排除，②取32,MababQ,对乘法333224M,③④的正确性容易推得。三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,1)，m·n＝1，且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数()cos24cossin()fxxAxxR的值域.安徽高中数学解：（Ⅰ）由题意得3sincos1,mnAA12sin()1,sin().662AA由A为锐角得,663AA（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos,2A所以2213()cos22sin12sin2sin2(sin).22fxxxxsx因为x∈R，所以sin1,1x，因此，当1sin2x时，f(x)有最大值32.当sin1x时，()fx有最小值-3,所以所求函数()fx的值域是332，（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由.解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝122,arctan.222PGPBOBC所以异面直线PB与CD所成的角是2arctan2.安徽高中数学（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32.设QD＝x，则12DQCSx，由（Ⅱ）得CD=OB=2，在Rt△POC中，222,PCOCOP所以PC=CD=DP,233(2),42PCDS由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD.解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O为坐标原点，OCODOP、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以110111CDPB＝（，，），＝（，，）.所以异面直线PB与CD所成的角是arccos63，(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32，由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CPCD设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则0,0,nCPnCD所以00000,0,xzxy即000xyz，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设(0,,0)(11),(1,,0),QyyCQy由32CQnn，得13,23y解y=-12或y=52(舍去)，此时13,22AQQD，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD.安徽高中数学（19）（本小题满分12分）已知函数321()23fxxx.（Ⅰ）设na是正数组成的数列，前n项和为nS，其中13a.若点211(,2)nnnaaa(n∈N*)在函数'()yfx的图象上，求证：点(,)nnS也在'()yfx的图象上；（Ⅱ）求函数()fx在区间(1,)aa内的极值.解：(Ⅰ)证明：因为321()2,3fxxx所以'2()2fxxx，由点211(,2)(N)nnnaaan在函数'()yfx的图象上,221122nnnnaaaa111()()2()nnnnnnaaaaaa，又0(N),nan所以12nnaa，na是13,2ad的等差数列所以2(1)32=22nnnSnnn,又因为'2()2fnnn,所以()nSfn,故点(,)nnS也在函数'()yfx的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)fxxxxx,令()0,fx得02xx或.当x变化时,()fx﹑()fx的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗注意到(1)12aa,从而①当212,21,()(2)3aaafxf即时的极大值为,此时()fx无极小值；②当10,01,()aaafx即时的极小值为(0)2f,此时()fx无极大值；③当2101,()aaafx或或时既无极大值又无极小值.（20）（本小题满分12分）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时