七宝中学数列中的整除问题-0210(完整)

数列中的整除问题数列中的不等关系数列中的整除问题基础知识1、整数的基本性质（1）整数的和、差、积仍为整数（2）整数的奇偶性，运算规律（3）若a,b∈Z,且ab，则a≤b−1.（4）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数。2、整数性质的应用（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值；在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能求出变量的范围，但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散型求出变量的值（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常熟进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解，通常处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量（其余视为参数）进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散型求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有一下几点：①解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶3、问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n项和的项数，均为正整数。典型例题1.已知数列na的通项公式为72nan，若21mmmaaa为数列na中的项，则m2.若数列12nan，求*,,Nkmkm的值，使得12...65mmmmkaaaa。引申探究：若将12...65mmmmkaaaa改成12...300mmmmkaaaa，试求*,,Nkmkm值。3.已知数列na的前n项和为nS，且*221121NnnnSn（1）求数列na的通项公式；（2）设**,2133,12NkknaNkknanfnn是否存在*Nm，使得mfmf515成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。4.已知各项均为正数的数列na满足4,173aa，前6项依次成等差数列，从第五项起一次成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得2121mmmmmmaaaaaa5.已知数列na的前n项和为nS，且满足*11023,2NnSaann（1）求32,aa的值；（2）求数列na的通项公式；（3）是否存在整数对nm,，使得等式842mamann成立？若存在，请求出所有满足条件的nm,；若不存在，请说明理由。6.已知数列na是各项均不为0的等差数列，nS是其前n项和，且满足1222nnSa，令11nnnaab，数列nb的前n项和为nT（1）求数列na的通项公式及nT；（2）是否存在正整数nmnm1,，使得nmTTT,,1成等比数列？若存在，请求出所有的nm,；若不存在，请说明理由。7.已知各项均为正数的数列na满足：31a，且*1221,012Nnaaaaannnnn（1）设nnnaab1求数列nb的通项公式；（2）设2222122221111,nnnnaaaTaaaS，求nnTS，并确定最小正整数n，使得nnTS为整数。8.已知na为等差数列，前n项和为nS，若12,4224nnaaSS（1）求na；（2）对*Nm，将na中落入区间mm22,2内项的个数记为mb，①求mb；②记mmmbc1222，mc的前m项和记为mT，是否存在*,Ntm，使得111tmmctTtT成立？若存在，求出tm,的值，若不存在，请说明理由。9.已知数列na为等差数列，数列nb为等比数列，且对任意的*Nn，都有322112nnnnbababa，若81a，则：（1）求数列na，nb的通项公式；（2）试探究：数列nb中是否存在一项，它可以表示为该数列中其他2,rNrr项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由。10.已知等差数列na的首项为a，公差为b，对于任意的*Nn，均存在*Nm，使得nmba3成立，则na历年好题精选1.用部分自然数构造如图的数表：用jiaij表示第i行第j个数Nji,，使得iaaiji1，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第Nnn行中的各数之和为nb（1）写出4321,,,bbbb，并写出1nb与nb的递推关系（不要求证明）（2）令2nnbc，证明：nc是等比数列，并求出nb的通项公式；（3）数列nb中是否存在不同的三项Nrqpbbbrqp,,,,恰好成等差数列？若存在，求出rqp,,的关系，若不存在，说明理由。122343477451114115……2.已知nnba,满足nnnbaS22，其中nS是数列na的前n项和。（1）若数列na是首项为32，公比为31的等比数列，求数列nb的通项公式（2）若3,2anbn，求数列na的通项公式；（3）在（2）的条件下，设nnnbac，求证：数列nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积。3.已知数列na的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列na的前n项和为nS，且满足439545,2aaaaaS（1）求数列na的通项公式（2）若21mmmaaa，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得122mmSS恰好为数列na中的一项？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由。4.已知数列na满足*11,12,2,3Nnababbaannnnnn（1）求证：数列nb1是等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）设数列；nc满足52nnac，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数rqprq,，使得rqpccc1,1,1成等差数列？若存在，试用p表示rq,；若不存在，请说明理由。数列中的不等关系一、基础知识1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求得数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点。2、如何判断数列的单调性（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性。通常的手段就是作差或作商典型例题1.已知数列na，11a，前n项和满足031nnnnS（1）求na的通项公式；（2）设nnnanc2，若数列nc是单调递减数列，求实数的取值范围。2.已知数列na中，17,153aa，记数列na1的前n项和为nS，若ZmmSSnn1012对任意的*Nn恒成立，则整数m的最小值是………………………………………………（）A.5B.4C.3D.23.已知数列na,nb满足*212Nnaaanbn，若na为等比数列，且2316,2bba（1）求nnba,；（2）设*11Nnbacnnn，记数列nc的前n项和为nS①求nS②求正整数k，使得对于*Nn，均有nkSS4.已知数列na的前n项和为nS，11a且11221nnSnnSnn，数列nb满足5,02312bbbbnnn，其前9项和为63（1）求nnba,；（2）设nnnnnbaabc，记数列nc的前n项和为nT，对*Nn，均有banTn,2，求ab最小值。5.数列na的前n项和42nSn，数列nb满足*1,23Nnnnbbnn，其前9项和为63（1）求数列na的通项公式；（2）求证：当411b时，数列nnab为等比数列；（3）在（2）的条件下，设数列nb的前n项和为nT，若数列nT中只有3T最小，求1b的取值范围。6.设nS为数列na的前n项和，且3,2,1,221naSnnn（1）求数列na的通项公式；（2）设2log1nannb数列nb的前n项和为nB，若存在正数m，使得对任意整数*,2Nnn都有203mBBnn成立，求m的最大值。7.已知各项都为整数的数列na的前n项和为nS，且对任意的*Nn都有nnnpaapS22（其中0p且p为常数），记数列nS1的前n项和为nH（1）求数列na的通项公式及nH；（2）当2p时，将数列na1的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列nb的前三项，记nb的前m项和为mT，若存在*Nm，使得对任意*Nn都有nmHT恒成立，求实数的取值范围。8.已知数列na的前n项和*1221NnaSnnn，数列nb满足nnnab2（1）求证：数列nb的是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）设数列nc满足ncannnn113（为非零整数，*Nn）问是否存在整数使得对任意*Nn，都有nncc19.已知数列na的前n项和为nS，且nnannaa21,2111（1）求na的通项公式；（2）设*,2NnSnbnn，若集合*,|NnbnMn恰有4个元素，则实数的取值范围。10.已知数列na满足341naann（1）当21a时，求数列na的前n项和nS；（2）若对任意*Nn，都有41212nnnnaaaa成立，求1a的取值范围。数列中的不等关系历年好题1.已知数列na的前n项和为nS，且*41,0NnSaannnn（1）若nnnSab2log1，求数列nb的前n项和nT；（2）若nnnnatan2,20，求证：数列n是等比数列，并求其通项公式；（3）记21212121nnaaac，若对任意的mcNnn,*恒成立，求实数m的最大值。2.已知数列na是首项411a的等比数列，其前n项和nS中243,,SSS成等差数列（1）求数列na的通项公式；（2）设nnab21log，若13221111nnnbbbbbbT，求证：2161nT3.已知数列na满足：3,121aa，*2,2sin2cos21Nnnanann（1）证明：数列*2Nkak为等比数列；（2）求数列na的通项公式；（3）设122112kakkkab（为非零整数），试确定的值，使得对任意*Nk，都有kkbb1成立。4.已知数列na中，aa2（a为非零常数），其前n项和nS满足*12NnaanSnn（1）求数列na的通项公式；（2）若2a，且11412nmSa，求nm、的值；（3）是否存在实数ba,使得对任意正整数p，数列na中满足pban的最大项恰为第23p项？若存在，分别求出ba,的取值范围；若不存在，请说明理由。5.数列na的前n项和为nS，且对一切正整数n都有nnanS212（1）求证：241naann；（2）求数列na的通项公式；（3）是否存在实数a，使得不等式12232111111221naaaaan对一切正整数n