理论力学作业答案

第2章拉格朗日方程一、约束及其分类1).理想约束和非理想约束：系统中所有约束力的虚功的代数和为零的约束是理想约束，否则称为非理想约束。2).完整约束与非完整约束：约束方程仅是坐标和时间的函数的约束是完整约束；约束方程不仅和坐标与时间，还和速度有关，则是非完整约束3).定常约束和非定常约束：约束方程中不显含时间的是定常约束，反之为非定常约束0iiiNrF二、达朗贝尔方程和拉格朗日方程1).达朗贝尔(d’Alembert)方程：如果系统所受到的约束是理想的，则有：这是理想约束体系动力学的普遍方程。2).拉格朗日(Lagrange)方程：相比牛顿力学，拉格朗日动力学方程取较简洁的形式，并且拉格朗日方程是从能量角度来写的动力学方程，有其普遍意义。0iiiiirrmF.,,2,1sQqLqLdtd2.3用达朗贝尔方程写出习题1.24的运动微分方程解：取m位矢OM与OO’连线夹角为θ，取极坐标系则reRrcos2eeRrrcossin2eeRrrcossin2cossincos22)cossin(2cossin2eeReteRrrr代入达朗贝尔方程：，并化简得0)(rrmF0)cossin(2r系数为零0cossin2RMo'oytx2.6用拉格朗日程写出习题1.20的运动微分方程解：如图，取底面圆心处为坐标原点，建立柱坐标系，质点到轴距为R有几何关系zrezeReRvtan),tan(2zRzRR222222222222)tan()tan1(21)tan(tan2121zRzmzzRzmmvTmgzVmgzzRzmVTL22222)tan()tan1(21代入完整保守体系的拉格朗日程，并化简得：0tan2)tan(0)tan(tan)tan1(22222zRzgRzzRR2R1m代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得2.7用拉格朗日方程写出习题1.21的运动微分方程解：建立柱坐标系，取R，为广义坐标222Rrz222RRrRzvRvRvkn22222222)(2RrmgRRrrRmL020222222222222RrgRRRRrrRRRrrRR由几何关系：2.8用拉格朗日方程写出习题1.24的运动微分方程解：以θ为广义坐标，取极坐标系0)(2222VrrmT代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得tRr,cos2)coscos2(2)cos2()()sin2(222222222mRRRmVTL0cossin2RMo'oytx则2.9用拉格朗日方程写出习题1.27的运动微分方程解：体系为自由度为2的完整约束体系，取x,y为广义坐标22022214)(2yxeVyxmT代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得0404232202232202yxyeymyxxexm22022214)(2yxeyxmVTLABoyx2.11光滑刚性抛物线R2=2pz以恒定角速度ω绕铅直轴z旋转，其上套有质量为m的小环.(1)试求小环的拉格朗日函数及运动方程；(2)小环可稳定某处时，ω＝？解：建立柱坐标系，R为广义坐标，代入完整保守体系的拉格朗日方程，则pRmgmgzVRpRRRmzRRmT2))((2)(2222222222pmgRpRRRRmVTL2)(22222222022222RpRRpgRRpRRdtd化简得到，0)(22222pgRRpRRRRp当小环稳定时，R为定值，即有00RR代入上式，可得pgRRp22即pgzyxmoRz2.12质量为m的质点约束在光滑的旋转抛物面x2+y2=az的内壁运动，z轴为铅直轴。写出(1)质点的运动方程，(2)质点做圆周运动所满足的条件。解：体系自由度为2的完整约束体系，选用柱坐标系，R,θ为广义坐标代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得mgzVzRRmT)(22222将约束条件x2+y2=R2＝az，代入得2222222)4(2RamgRaRRRmVTL020284122222RRagRRRaRRaR若质点做圆周运动，有00RRag22可得即gzagRR2222gzv22当t=0时，有v=v0，z=h，得ghv220由杆AC，DG力矩平衡：2.13图中所示是一台磅秤的简化机构.试证明：若，则在平衡条件下，秤锤的重量P与重物P’在秤台的位置无关，且若有，则有：ACFABFPDFFEFFFGP')''(2121ABACEFDFEFFGPP'证明：由受力平衡，B处受力为(P’-F1’)又有F1＝F1’，F2＝F2’DFACABFPEFFFGP)'(11ABACEFDFEFPFGP'即秤锤的重量P与重物P’在秤台的位置无关，且EFFGPP'P'F'2ABCDEFGF2F1F'1P体系为完整保守平衡系统：2.15一水平的固定光滑钉子M与光滑铅直墙面的距离为d，一长为l的均匀棒AB搁在钉子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙的夹角解：以M点为原点建立直角坐标系，有)cotcos2(dlmgV即0)sinsin2(02dlmgV32sinldarc1)2))cotcos2(,sin2dlydlx由图)sinsin2(2dly由虚功为零0ymg即0)sinsin2(2dlmg32sinldarc任意，BMAd则2.18质量为m1和m2的两个质点用一固有长度为l，重量可忽略的弹簧连接，放置在半径R的光滑球壳内，求平衡时两质点的位置。解：m1o和m2o分别和铅垂线的夹角为，原点为o化简得2212211)2sin2(21)coscos(RlkRgmRgmVVVkmg21,体系为完整保守平衡系统：0V02sin22cossin02sin22cossin212122212111RlkgmRlkgmm2om1令2.23质量为m，电荷为q的粒子在轴对称电场和均匀磁场中运动。写出粒子的拉格朗日函数和运动微分方程。解：由题中，代入：在柱坐标系中，有：eRBARE0021ln0)(0)2(0202002zmdtdRqBmRdtdRqBRqEmRRmreREE0kBB0reREE0kBB0zrezeRvVAqqmvLeR,2120qLqLdtd化简得：•wfeizzu.edu•wfeigs.zzu.edu