第45-46讲方差的假设检验

ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计1第45-46讲正态总体方差的假设检验课程名称概率论与数理统计课时50+50=100分钟任课教师孙芳菲专业与班级国贸B1601、02、03班；贸经B1601班；投资B1601班课型新授课课题8.3正态总体方差的假设检验教学分析教材分析本次课位于课本第八章第三节，从第233页至239页。位于正态总体均值的假设检验之后。本次课的主要内容是单个及两个正态总体下关于方差的假设检验方法，即单个总体下方差的2检验法；两个正态总体下方差的F检验法。这两种检验方法在解决实际问题时非常重要，而且往往和正态总体均值的假设检验综合使用。无论是均值的假设检验，还是方差的假设检验，会发现一般检验步骤都比较类似，即提出假设；构造检验统计量；确定拒绝域；计算统计量的观察值；做出判断。学习目标知识与技能掌握单个正态总体方差的假设检验方法——2检验法；了解两个正态总体方差的假设检验方法——F检验法。过程与方法类比正态总体均值的假设检验方法，构造单个正态总体和两个正态总体下方差的检验统计量形式；进而确定相应的双边和单边拒绝域。情感态度与价值观使学生由书本上的具体假设检验推广到实际生活中的假设检验问题，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。教学方法与策略教学内容1．单个正态总体方差的假设检验；2．两个正态总体方差的假设检验。ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计2教学重点单个正态总体方差的假设检验教学难点单个正态总体方差的假设检验板书设计教学时间设计第1节课：单正态总体下方差的假设检验——2检验法1.1双边检验（20分钟）1.2单边检验（右检验或左检验）（20分钟）课间休息10分钟第2节课：双个正态总体方差的假设检验2.1单个正态总体的均值和方差的假设检验总结（15分钟）2.2两个正态总体下方差的检验——F检验（30分钟）2.3小节及作业布置（5分钟）教学进程教学意图教学内容教学环节第1节课：单正态总体下方差的假设检验——2检验法ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计3回顾回顾1.假设检验的基本思想；2.正态总体均值的假设检验一般步骤；3.均值在不同情况下的检验方法和相应拒绝域。1）方差已知的正态总体期望值μ的检验步骤（Z检验法）：（a）提出待检验的假设H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.（b）构造统计量Z，并计算其观察值z0：Z=0/Xn，z0=0/xn.（c）对给定的显著性水平α，根据P{｜Z｜＞zα/2}=α，P{Z＞zα/2}=α/2，P{Z≤zα/2}=1-α/2查标准正态分布表，得双侧α分位点zα/2.（d）作出判断：根据H0的拒绝域若｜z0｜＞zα/2，则拒绝H0，接受H1；若｜z0｜≤zα/2，则接受H0.2）方差未知的正态总体期望值μ的检验步骤（t检验法）：（a）提出待检验的假设H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.（b）构造统计量t，并计算其观察值t0：t=0/XSn,t0=0/xsn.（c）对给定的显著性水平α，根据P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α，P{t＞tα/2（n-1）}=α/2查标准正态分布表，得双侧α分位点zα/2.（d）作出判断：根据H0的拒绝域若｜t0｜＞tα/2（n-1），则拒绝H0，接受H1；若｜t0｜≤tα/2（n-1），则接受原假设H0.时间10分钟回顾假设检验的基本思想，尤其是样本均值在方差已知——Z检验法，方差未知——t检验法的一般步骤。1.1双边检验（20分钟）给出样本方差的双边问题提出1.已知考生成绩服从正态分布，是否可认定该次考试成绩的标准差为15分？2.已知两个年级的考生成绩服从正态分布，是否可认为今年的《高等数学》考试成绩与上一年级同样稳定？定义时间：20分钟ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计4检验方法设总体X~N（μ，σ2），μ未知，检验假设H0：σ2=σ02；H1：σ2≠σ02.其中σ02为已知常数.由于样本方差S2是σ2的无偏估计，当H0为真时，比值220S一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1，由第六章知当H0为真时2=220(1)nS~2（n-1）.所以对于给定的显著性水平α有图P{21/2（n-1）≤2≤2/2（n-1）}=1-α.对于给定的α，查2分布表可求得2分布分位点21/2（n-1）与2/2（n-1）.则H0的接受域是21/2(n-1)≤2≤2/2(n-1)；H0的拒绝域为2＜21/2（n-1）或2＞2/2（n-1）.这种用服从2分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为2检验法.例某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测得其寿命的样本方差s2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取α=0.02)?解本题要求在α=0.02下检验假设H0：σ2=5000；H1：σ2≠5000.现在n=26，类比样本均值的检验方法，引导学生推导出样板方差的检验方法——2检验法。使学生了解相应的拒绝域和一般的检验步骤。具体实ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计5累计30分钟2/2（n-1）=20.01(25)=44.314，21/2(n-1)=20.99(25)=11.524,σ02=5000.拒绝域为220(1)ns＞44.314或220(1)ns＜11.524由观察值s2=9200得220(1)ns=46＞44.314,所以拒绝H0，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.例确定2检验法的具体步骤。1.2单边检验（右检验或左检验）（20分钟）引出单边检验的步骤定义设总体X~N（μ，σ2），μ未知，检验假设H0：σ2≤σ02；H1：σ2＞σ02.（右检验）由于X~N（μ，σ2），故随机变量*2=22(1)nS~2（n-1）.当H0为真时，统计量2=220(1)nS≤*2.对于显著性水平α，有P{*2＞2（n-1）}=α图于是有时间20分钟相对于双边检验，确定单边检验的拒绝域。ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计6累计50P{2＞2（n-1）}≤P{*2＞2（n-1）}=α.可见，当α很小时，{2＞2（n-1）}是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以H0的拒绝域是：2=220(1)nS＞2（n-1）（右检验）.类似地，可得左检验假设H0：σ2≥σ02，H1：σ2＜σ02的拒绝域为2＜21（n-1）（左检验）.例今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25个零件，测量其直径，计算得样本方差为s2=0.00066，已知革新前零件直径的方差σ2=0.0012，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？（α=0.05)解(1）提出假设H0：σ2≥σ02=0.0012；H1：σ2σ02.(2)选取统计量2=220(1)nS.*2=22(1)nS~2（n-1），且当H0为真时，*2≤2(3）对于显著性水平α=0.05，查2分布表得21（n-1）=20.95(24)=13.848，当H0为真时，P{221(n-1)}≤P2212(1)(1)nSn=α.故拒绝域为221(n-1)=13.848.(4)根据样本观察值计算2的观察值2=220(1)240.000660.0012ns=13.2.(5)作判断：由于2=13.2＜21(n-1)=13.848，即2落入拒绝域中，所以拒绝H0：σ2≥σ02，即认为革新后生产的零件直径的具体实例说明单边检验。ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计7分钟方差小于革新前生产的零件直径的方差.课间休息10分钟第2节课：双个正态总体方差的假设检验2.1单个正态总体的均值和方差的假设检验总结（15分钟）回顾第1节课所学内容时间2分钟单个正态总体的假设检验可列表如下2.2两个正态总体下方差的检验——F检验（30分钟）设总体211~(,)XN，总体222~(,)YN，且X与Y时间30分钟ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计8F检验累计45分钟相互独立，2212,未知，试对21与22有无显著差异作假设检验.①在总体上作假设22012:H22112:H②检验统计量00*22*2112*22*22/~(1,1)HHXXYYSSFFnnSS③给定显著水平，存在1212(1,1)Fnn和122(1,1)Fnn，使1212122{(1,1)}{(1,1)}2PFFnnPFFnn故取拒绝域1212121212122(1,1){(,,,;,,,)}(1,1)nnFFnnWxxxyyyFFnn④决策：当抽样结果是121212(,,,;,,,)nnxxxyyyW时，拒绝0H，认为21与22有显著差异；否则接受0H，认为21与22无显著差异.例有两种冶金方法，所得产品中的杂质含量（%）分别为211~(,)XN，222~(,)YN，且X与Y相互独立，各抽取一个子样，杂质含量（%）如下：问：两种方法生产的产品中所含杂质的波动性有无显著差异（取0.05）？解：①作假设22012:H22112:H②检验统计量0*212*2~(1,1)HXYSFFnnS③拒绝域1212121212122(1,1){(,,,;,,,)}(1,1)nnFFnnWxxxyyyFFnn在单个正态总体的检验基础上，引入两个正态总体下样本方差的假设检验——F检验根据此例题让学生了解F检验的一般步骤。ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计9④给定显著水平0.05，1213,9nn，则查表可得120.0252(1,1)(12,8)4.20FnnF，1120.97520.025(1,1)(12,8)110.28(8,12)3.51FnnFF接受域为(0.28,4.20)W又算得*25.862XS，*21.641YS，从而3.572FW故接受，即认为两种方法生产的产品中所含杂质的波动性无显著差异。2.3小结及作业（5分钟）本次课小结累计49分钟单个正态总体方差的假设检验方法——2检验法；两个正态总体方差的假设检验方法——F检验法。时间3分钟回顾总结累计50分钟思考：1.为什么说参数估计中的置信区间对应假设检验中的接受域？作业布置：1.复读课本第233页至第239页；2.完成书面作业：第247页第8、9题；3.预习课本第239页至245页.要求学生认真完成作业.教学评价本次课是在学生掌握了假设检验的基本思想和正态总体均值的假设检验方法的基础上，因此在教学中类比均值的假设检验方法引导学生构造方差的假设检验统计量和相应拒绝域，以及检验步骤。在引出方差的假设检验前以“学生考试成绩”实际问题为背景引出本节内容，很好地抓住了学生的“眼球”，有效地提高学生的学习兴趣，也让学生充分了解方差假设检验产生的背景，让学生清晰地看到假设检验是在解决实际问题中产生的。在引例讲解的过程中特别强调了拒绝域、检验统计量的重要性以及拒绝域所对应的小概率事件的存在性，这样就为整堂课奠定了良好的基础。实践证明，在本堂课的教学过程中，学生均表现出了较高的积极性和较大的情感投入，通过提问和交流说明学生已经掌握了该掌握的知识，初步获得较理想的学习效果，也达到了教学目标。ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计10