多维随机变量函数的分布设计

ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计1概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100分钟任课教师蔡东平专业与班级市营B1601班人资B1601-02班课型新授课课题二维随机变量函数的分布学习目标知识与技能1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8最大、最小分布过程与方法在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式),(YXgZ,现希望通过),(YX的分布来确定Z的分布.此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i)YXZ;(ii)},max{YXZ和},min{YXZ，其中X与Y相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.情感态度与价值观1.培养学生解决问题的过程是由简单到复杂的过程。2.让学生理解，一个真理的发现不是一蹴而就的，需要经过有简单到复杂，由具体到抽象的不断深入的过程.ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计2教学分析教学内容1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8最大、最小分教学重点1.和的分布;2.积的分布;3.最大、最小分布;教学难点1.和的分布;2.积的分布;3.最大、最小分布;教学方法与策略课堂教学设计思路1对比一维随机变量函数的分布来了解多维随机变量离散型随机向量的函数的分布、连续型随机向量的函数的分布；2、进一步理解和的分布、正态随机变量的线性组合、商的分、积的分布、最大、最小分布ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计3板书设计1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8最大、最小分教学进程教学意图教学内容教学环节1．引言（5分钟）累计5分钟在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式),(YXgZ,现希望通过),(YX的分布来确定Z的分布.此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i)YXZ;(ii)},max{YXZ和},min{YXZ，其中X与Y相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.时间：5分钟应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.教学意图教学内容教学环节2.离散型随机变量的函数的分布：（25分钟）离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布设),(YX是二维离散型随机变量,),(yxg是一个二元函数,则),(YXg作为),(YX的函数是一个随机变量,如果),(YX的概率分布为),2,1,(},{jipyYxXPijji时间:25分钟ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计4设),(YXgZ的所有可能取值为,2,1,kzk,则Z的概率分布为,},{}),({}{),(kjizyxgjikkyYxXPzYXgPzZP,,2,1k设),(YX是二维离散型随机变量,),(yxg是一个二元函数,则),(YXg作为),(YX的函数是一个随机变量,如果),(YX的概率分布为),2,1,(},{jipyYxXPijji设),(YXgZ的所有可能取值为,2,1,kzk,则Z的概率分布为,},{}),({}{),(kjizyxgjikkyYxXPzYXgPzZP,,2,1k例1设随机变量),(YX的概率分布如下表求二维随机变量的函数Z的分布:.)2(;)1(XYZYXZ解由),(YX的概率分布可得ijp0.20.150.10.30.100.1),(YX(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,1)YXZ-2-101123XYZ10-1-2-202与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同,把Z值相同项对应的概率值合并可得:YX101210.20.150.10.320.100.10.05ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计5、累计30分钟YXZ)1(的概率分布为Z-2-101234ip0.20.150.10.400.10.05XYZ)2(的概率分布为Z-2-10124ip0.40.10.150.20.10.05例2设X和Y相互独立,,),(~),,(~21pnbYpnbX求YXZ的分布.解这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之.若),,(~1pnbX则X是在1n次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为.p同样,Y是在2n次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为,p故YXZ是在1n2n次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为,p于是Z是以),(21pnn为参数的二项随机变量,即).,(~21pnnbZ例3若X和Y相互独立,它们分别服从参数为21,的泊松分布,证明YXZ服从参数为21的泊松分布.解!}{11ieiXPi;,1,0i!}{22jejYPj,1,0j由离散型卷积公式得ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计6riirYiXPrZP0},{}{)!(!21021ireieiririiririirirre210)()!(!!!21,)(!21)(21rre,1,0r即Z服从参数为21的泊松分布.3.连续型随机向量的函数的分布（20分钟）教学意图教学内容教学环节设),(YX是二维连续型随机向量,其概率密度函数为),(yxf,令),(yxg为一个二元函数,则),(YXg是),(YX的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求),(YXgZ的分布.a)求分布函数),(zFZ.),(}),{(}),({}{)(ZDZZdxdyyxfDYXPzYXgPzZPzF其中,}.),(|),{(zyxgyxDZb)求其概率密度函数)(zfZ,对几乎所有的z,有).()(zFzfZZ定理1设),(21XX是具有密度函数),(21xxf的连续型随机向量.(1)设),(),,(21222111xxgyxxgy是2R到自身的一一映射,即存在定义在该变换的值域上的逆变换:时间20分钟ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计7);,(),,(21222111yyhxyyhx(2)假设变换和它的逆都是连续的;(3)假设偏导数)2,1,2,1(jiyhii存在且连续;(4)假设逆变换的雅可比行列式0),(2212211121yhyhyhyhyyJ,即),(21yyJ对于在变换的值域中的),(21yy是不为0的.则21,YY具有联合密度)).,(),,((||),(21221121yyhyyhfJyyw定理2设YX,相互独立，且),,(~211NX).,(~222NY则YXZ仍然服从正态分布，且).,(~222121NZ更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即有定理3若),,,2,1)(,(~2niNXiii且它们相互独立，则对任意不全为零的常数naaa,,,21，有niiiniiiniiiaaNXa1211,~.例4设随机变量X与Y相互独立,且同服从]1,0[上的均匀分布,试求||YXZ的分布函数与密度函数.解先求Z的分布函数}|{|)(zYXPxFZ有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计8累计50分钟1,110},{0,0zzzYXzPz,1,110,)1(10,02zzzz于是||YXZ的概率密度为.,010),1(2)()(其它xzzFzfZZ4.和、商、积的分布（35分钟）教学意图教学内容教学环节例5设),(21XX的密度函数为).,(21xxf令212211,XXYXXY试用f表示1Y和2Y的联合密度函数.和的分布：设X和Y的联合密度为),(yxf,求YXZ的密度.卷积公式:当X和Y独立时,设),(YX关于YX,的边缘密度分别为),(),(yfxfYX则上述两式化为dxxzfxfzfdyyfyzfzfYXZYXZ)()()()()()(以上两个公式称为卷积公式.解令,211xxy,212xxy则逆变换为,2211yyx,2212yyx,02/12/12/12/12/1),(21yyJ故由定理1知,1Y和2Y的联合密度函数为时间35分钟．ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计9.2,221),(212121yyyyfyyw例6设X和Y是两个相互独立的随机变量.它们都服从)1,0(N分布,其概率密度为.,21)(,,21)(2/2/22yeyfxexfyYxX.的概率密度求YXZ解由卷积公式得dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221dxeezxz222421dteezxttz224212/,21214422zzee即).2,0(~NZ例7(讲义例5)设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度函数为.,0,0,)(其它时当xxexfx如果各周的需要量相互独立,求两周需要量的概率密度函数.解分别用X和Y表示第一、二周的需求量则,,00,)(其它xxexfxX,,00,)(其它yyeyfyY从而两周需求量,YXZ利用卷积公式计算.当0z时,若,0x则,0xz;0)(xzfY若,0x则,0)(xfX从而;0)(zfZADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计10当0z时,若,0x则;0)(xfX若,0xz即,xz则,0)(xzfY故zxzxYXdxexzxedxxzfxf0)()()()(,63zez从而.,00,6)(3其它zezzfzZ例8(讲义例4)设X与Y相互独立,且均在区间]1,0[上服从均匀分布,求YXZ的密度函数.解由卷积公式,对,z有dxeezfxzxZ2)(2222121)(,212)(22dxexzx因为,422)(2222zzxxzx所以dxeezfzxzZ222421)(作变量代换,令),2/(2zxt则,212121)(424222ztzZedteezf它表明).2,0(~NZ注:进一步可以证明,设),,(~2