排列练习题(实用)

11．解方程：3322126xxxAAA．解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)xxxxxxx，∵3x，∴3(1)(2)2(1)6(1)xxxx，即2317100xx，解得5x或23x，∵3x，且xN，∴原方程的解为5x．2．解不等式：2996xxAA．解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!xx，也就是16(9)!(11)(10)(9)!xxxx，化简得：2211040xx，解得8x或13x，又∵29x，且xN，所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7．3．求证：（1）nmnmnnnmAAA；（2）(2)!135(21)2!nnnn．证明：（1）!()!!()!mnmnnmnAAnmnnmnnA，∴原式成立奎屯王新敞新疆（2）(2)!2(21)(22)43212!2!nnnnnnnn2(1)21(21)(23)312!nnnnnnn!13(23)(21)!nnnn135(21)n右边∴原式成立奎屯王新敞新疆4．化简：⑴12312!3!4!!nn；⑵11!22!33!!nn奎屯王新敞新疆⑴解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!nn11!n⑵提示：由1!1!!!nnnnnn，得!1!!nnnn，原式1!1n奎屯王新敞新疆说明：111!(1)!!nnnn．5．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，2比赛的总场次是214A=14×13=182.6．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？7．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？答案：1.B2.B3.A4.1,15.2,3,4,5,66.(1)6(2)181440(3)8(4)57.16808.24奎屯王新敞新疆8．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有13A种；第二类用2面旗表示的信号有23A种；第三类用3面旗表示的信号有33A种，由分类计数原理，所求的信号种数是：12333333232115AAA，答：一共可以表示15种不同的信号奎屯王新敞新疆9．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有44A种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有44A种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数奎屯王新敞新疆解：由分步计数原理，分配方案共有4444576NAA（种）答：共有576种不同的分配方案奎屯王新敞新疆10．（1）解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22A种；第二步余下的5名同学进行全排列有55A种，所以，共有22A55A=240种排列方法奎屯王新敞新疆（2）解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A种方法，所以一共有25A55A＝2400种排列方法奎屯王新敞新疆解法2：（排除法）若甲站在排头有66A种方法；若乙站在排尾有66A种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A－662A＋55A=2400种．（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A种方法．所以这样的排法一共有62621440AA种奎屯王新敞新疆（4）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A33A＝720种奎屯王新敞新疆3（5）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A种方法．所以这样的排法一共有25A44A22A＝960种方法奎屯王新敞新疆解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566AAA种方法奎屯王新敞新疆解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A55A22A＝960种方法．（6）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起奎屯王新敞新疆解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288AAA（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677AAA；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A种方法，所以一共有36002655AA种方法．（8）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A种方法，所以一共有44A35A＝1440种．说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．11.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1360805919AA；解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A；若不选：69A，则共有56995136080AA种；解法三：（间接法）65109136080AA奎屯王新敞新疆12．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列奎屯王新敞新疆解：（1）先将男生排好，有55A种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有552A4种排法奎屯王新敞新疆故本题的排法有5555228800NAA（种）；（2）方法1：10510105530240ANAA；方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有510A种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法奎屯王新敞新疆故本题的结论为510130240NA（种）29．（2007年辽宁卷）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)a，，，，若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法有种（用数字作答）．解析：分两步：（1）先排531,,aaa，1a=2，有2种；1a=3有2种；1a=4有1种，共有5种；（2）再排642,,aaa，共有633A种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30．