浙大城院数学建模1

11:06:26MCM1第一章、数学建模概论前言1.1数学模型与数学建模1.2数学建模的一般步骤1.3数学模型的分类1.4数学建模与能力的培养11:06:26MCM2随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。前言：利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型（简称数学建模），数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。11:06:26MCM31.1数学模型与数学建模模型是客观实体有关属性的模拟。1.陈列在橱窗中展览的飞机模型2.参加航模比赛的飞机模型模型并非一定要是实体的一种仿照，也可以是对实体的某些基本属性的抽象。例如，电路图/地图11:06:26MCM4数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它们的建立常常既需要人们对现实问题有比较深入细微的观察和分析，又需要人们能灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用各种知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程被称为数学建模（MathematicalModeling）。为了更清楚地说明什么是数学建模，让我们来看一个具体实例。数学模型（MathematicalModel）作为模型的一类，也是一种模拟，是以数学符号、数学表达式、程序、图形等为工具对现实问题或实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略等。11:06:26MCM5例1.1（万有引力定律的发现）牛顿(1642—1727)那是1666年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园里，坐在一棵树下，开始埋头读他的书。正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来。突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上。这位青年不是别人，正是时年23岁的牛顿(1642—1727):英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是十七世纪最伟大的科学巨匠。11:06:26MCM6据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题。有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了这一故事讲得有声有色，我们暂且不去管这一故事的真伪。树上掉下的苹果也许的确给过牛顿某种启示，但万有引力定律的诞生却决非如此简单，事实上，它是几代人努力的结果。11:06:26MCM7十五世纪中叶，哥白尼（1473-1543）冲破宗教努力的束缚，向长期统治人们头脑的地心说发起挑战，提出了震惊世界的日心说。按照哥白尼的理论，地球在一个以太阳为圆心的圆形轨道上作匀速圆周运动，绕太阳一周的时间叫一年。哥白尼的理论是科学史上的一次重大革命，不仅改变了那个时代人类对宇宙的认识，而且根本动摇了欧洲中世纪宗教神学的理论基础。恩格斯称“从此自然科学便开始从神学中解放出来”，“科学的发展从此便大踏步前进”。11:06:30MCM8由于受到历史和科学水平的限制，哥白尼的学说也免不了包含着一些不尽人意的缺陷。此后，丹麦著名的实验天文学家第谷（1546-1601）花了二十多年的时间观察当时已被发现的五大行星的运动情况,获得了十分丰富而又精确的第一手资料，他一生的奋斗目标就是提高观测的精确性，终身坚持准确细致的实地观测，并在去世前，把这些毕生精心观测的资料（包括700多颗恒星运行资料）都赠给了他晚年最大的发现—他的学生和助手开普勒（1571-1630），并且告诫开普勒：一定要尊重事实、尊重观察数据。11:06:30MCM9第谷遗留下来的资料浩如烟海，需要长期、耐心、细致地去研究。开普勒在对这些资料经过了长达九年的分析计算后发现，第谷的观察结果与哥白尼的理论并不完全一致。例如，他在分析火星的公转时发现，火星的运行周期与运用哥白尼理论计算出来的结果大约要相差1/8度（一个周期为360度），开普勒十分了解第谷的习性，深信第谷的观察结果是精确无误的，不可能有这样大的误差，于是他认为产生这一误差的唯一原因就是火星有可能不是作当时人们普遍认为的匀速圆周运动。11:06:30MCM10他以观察数据为依据，改用各种不同的几何曲线来表示火星的运动轨迹，发现火星应当是沿椭圆轨道绕太阳运行的，太阳在此椭圆的一个焦点上，而且其它行星的运行也是如此。接着他又发现，虽然行星运行的速度是不均匀的，在近日点时较快，在远日点时较慢，但是，从任何一点开始，在单位时间内，向径扫过的面积却是不变的。开普勒在计算出当时已知的五大行星的运行周期,轨道长半轴后，又发现了行星运行的某些规律（见表1-1）11:06:31MCM11表1-1五大行星运行周期及轨道长半轴（注：以地球为参照单位）行星周期长半轴水星0.2410.3870.05810.0580金星0.6150.7230.3780.378火星1.8811.5243.543.54木星11.865.203140.7140.9土星29.469.539867.9868.02T311:06:31MCM12当时，对数表已经出现了，开普勒在把上述数据的对数查出来以后，又得一新表：表1-2lgalgT水星金星火星木星土星-0.41-0.140.180.720.98-0.62-0.210.271.071.47由表1-2可以看出lg:lg2:3aT，故32aT据此，开普勒提出了至今仍十分著名的三大假设（即Kepler三定律）11:06:31MCM13（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（即为绝对常数）。（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。（2）行星与太阳的连线（矢径）在相同时间内扫过的面积相等。11:06:31MCM14牛顿认为，行星运动之所以会具有上述特征，必定是某一力学规律的反映，他决心找出这一规律。根据开普勒提出的（1）和（2），行星运行的速度显然是不断变化的，这种变化的速度在当时还无法计算，所需要的数学工具远远超越了当时传统数学的范围。为了研究这种变化的速度，牛顿不得不自己创造一套崭新的数学方法，并最终建立了微积分，这一过程也花费了他整整九年的时间。下面我们来看看，如何根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律。11:06:31MCM15如图1-1所示，以太阳（设椭圆的左焦点）为极点，椭圆的长轴方向为极轴建立极坐标系，则椭圆方程可表为：cos1epr图1-1其中2(1)pae222(1)baeba，:椭圆的长半轴和短半轴的长度e:椭圆的离心率11:06:31MCM16应用微积分知识，不难求得，在极坐标下，矢径dt在时间内扫过的面积的微元为:221122dArdrdt即221rdtdA由开普勒的假设（2），矢径在相同的间内扫过的面积相等，故面积的变化率为常数，因此在任意时刻t212r某常数221()12(2)02drrrrdt所以20rr（1.1）即11:06:31MCM17假设行星的运行周期为T，则椭圆的面积恰为矢径在一个周期内扫过的面积，即TrdtdtdAabT2021，故Tabr22常数（1.2）太阳指向行星的矢径rr其长度与x轴的夹角),(r点处建立移动的直角坐标系，如图1-2所示在rurururuu其中与同向，垂直于和均为单位矢量。图1-211:06:31MCM18显然移动坐标系与固定坐标系之间有如下的坐标变换公式：jθiθujθiθuθr)(cos)sin()(sin)(cos（1.3）ij其中与分别为长轴方向和短轴方向上的单位向量。此外有rurr（1.4）ruu对（1.3）式中的和求导并和（1.3）比较得：rrujiuujiu)sin()cos()(cos)sin(（1.5）11:06:31MCM19对（1.4）式求导并结合（1.5）式得：ururrr继续求导得：urururururrr结合（1.5）式和（1.1）式我们可得)(2...rrr（1.6）以下，我们设法来求2rr，为了计算方便，我们采用椭圆的参数方程。11:06:31MCM20cos1eprAr2.2对椭圆方程求导并注意到可得：sin2sincos1)cos1(sin.2.2.pAepeepeper)(22cos12cos2......rpprApApeApAer将2.2rA代入上式可得：32)()2(prrpAr11:06:31MCM21由于TabA，故222222...2342224()()4()4abprababrrrpTrrTpTr由开普勒假设（3），32KaT，此外，由椭圆方程可知2bpa，故KpTba1222（K为绝对常数）再由牛顿第二定律rurmKrmamF221411:06:31MCM22KMG24GM记，为绝对常数（其中为太阳质量），于是2rMmFGur此即我们要推导的万有引力定理：万有引力的方向指向太阳（即作用力为吸引力），大小与距离的平方成反比，与太阳、行星质量的乘积成正比，而且比例系数为绝对常数。11:06:31MCM231.2数学建模的一般步骤从前例可以看出，万有引力的导出并不像有些人想象的那么简单。即使不把哥白尼的工作计算在内，也包含了几代人的辛勤努力。没有第谷的观察数据就不会有开普勒的三大定律，而没有开普勒的三大定律，牛顿也无从着手，不可能得出万有引力定律。分析万有引力定律的导出过程，可以看出建立数学模型的过程大致可以分为以下几个步骤：11:06:31MCM24了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料，这一步骤可以看成是为建立数学模型而做的前期准备工作。如果对实际问题没有较为深入的了解，就无从下手建模。而对实际问题的了解，有时还需要建模者对实际问题作一番深入细致的调查研究，就像第谷观察行星的运动那样，去搜集掌握第一手资料。（1）了解问题的实际背景，明确建模目的11:06:31MCM25在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。开普勒通过长达九年的分析计算，才将第谷的观测数据浓缩总结为三大假设（即开普勒的三大定律），这三大假设是牛顿发现万有引力定律的重要基础。本步骤实为建模的关键所在，因为其后的所有工作和结果都是建立在这些假设的基础之上的，也就是说，科学研究揭示的并非绝对真理，它揭示的只是：假如这些提出的假设是正确的，那么，我们可以推导出一些什么样的结果。（2）提出假设11:06:31MCM26在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系，建立相应的数学结构，即建立数学模型。采用什么数学结构、数学工具要看实际问题的特征，并无固定的模式。可以这样讲，几乎数学的所有分支在建模中都有可能被用到，而对同一个实际问题也可用不同的数学方法建立起不同的数学模型。一般地讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。（3）建立数学模型11:06:31MCM27为了得到结果，不言而喻，建模者还应当对模型进行求解，根据模型类型的不同特点，求解可能包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等不同的方面，在难以得出解析解时，还应当借助计算机来求出数值解。（4）模型求解（5）模型的分析与检验正如前面所讲，用建立数学模型