家教：第二章-函数-知识点总结及基础训练题

1第二章函数1．函数的概念：Ａ与Ｂ为非空数集，按照对应法则f，如果A中的任意一个数x在B中都有唯一确定的数)(xf与之对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的函数。原象集合A叫做函数的定义域，象的集合C叫做值域。2.映射的概念：一般的，设A、B是两个集合，如果按照对应法则f，对于集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与它对应，那么这样的对应叫集合A到B的映射。注：一一映射3.函数的定义域：指满足使解析式有意义的自变量的取值范围。函数的值域指函数值的集合。4．函数的三要素指定义域、对应法则（解析式）、值域。函数的表示方法主要有三种，解析法、图象法、列表法。5．两个函数是同一个函数的条件是它们的定义域与解析式完全相同。6.函数的定义域一般要考虑以下几种情况：（1）分式的分母及零次、负指数幂的底数非0（2）偶次方根的被开方数非负（3）对数的真数大于0底数大于0且不等于1（4）正切函数y=tanx：|,2xxkkZ（5）几何与实际问题中，自变量x有几何（实际）意义7．求函数解析式的常用方法：（1）换元法：适用于已知复合函数解析式类型，先令g(x)=t，反求出x，再代入原解析式中即求出f(t)（2）待定系数法：适用于已知函数类型的函数，先设解析式，代入已知条件中求出各待定系数（3）配凑法：8．函数的值域的常见求法（1）观察法：对于一些简单蝗函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域（2）图象法：利用图象变换得出其图象的函数（3）换元法：对一些无理函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出（4）均值不等式法：适用于能利用均值不等式的函数。如1(1)1yxxx（5）导数法：适用于易于求出其导函数再研究其单调性从而画出简图求得最值的函数。如3221(22)yxxxx2（6）反函数法：若一个函数是定义域到值域上的一一映射且反函数解析式易求，则可利用反函数解析式确定原函数的值域（7）单调性法：适用于能判断单调性的函数9、函数的单调性：对定义域的某个子集内的任意两个数x1,x2，若都有x1x2且f(x1)f(x2)，则称函数在此子集内是单调递增的；若x1x2且f(x1)f(x2)，则称函数在此子集内是单调递减的。10、判定函数单调性的常用方法：（1）定义法：利用单调性的定义判断（2）两个增（减）函数的和为增（减）；一个增与一个减的差为增。（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。（4）互为反函数的两个函数的单调性相同（5）复合函数的单调性法则：同增异减（6）求导：先求导函数，再研究单调区间从而得解11、反函数（1）、定义：由y=f(x)反求出x=(y)，再交换x、y，并求出原函数中y的范围即为反函数定义域。（2）、反函数与原函数的定义域与值域互换，图象关于y=x对称。（3）、只有从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数。严格单调函数必有反函数；奇函数的反函数也必是奇函数。（4）、求函数的反函数的一般步骤：（Ⅰ）由y=f(x)的解析式求出x=(y)（Ⅱ）将x,y对换，得出反函数的一般表达式；（Ⅲ）确定反函数的定义域即原函数的值域。（5）、若点（a,b）在原函数图象上，则（b，a）必在其反函数上，即1()fba（6）、周期函数不（是否）存在反函数。12．函数的奇偶性：（1）定义：两个条件（1）定义域关于原点对称（2）f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)变式（1）f(-x)f(x)=0（2）．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。奇函数的定义域内若含0，则f(0)=0。（3）．奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称。（4）．奇偶性相同的两函数相乘（除）结果为偶（奇/偶）；奇偶性相异的两函数相乘（除）结果为奇（奇/偶）；（5）．奇偶性与单调性的关系：奇（偶）函数在关于原点对称的区间内单调性相同（反）13．周期性3（1）定义式：f(x+T)=f(x)（2）、若f(x+m)=f(x-m)，则f(x)的周期为2m14、函数图象三种图象变换：（1）平移变换：点(,)(,)'(,)mabPxyPxabb(,)(,)(,)0(,)0()()mabmabfxyfxaybyfxybfxa（2）对称变换y=f(x)与y=f(—x)关于y轴对称；y=f(x)与y=—f(x)关于x轴对称；y=f(x)与y=—f(-x)关于原点对称；y=f(x)与1()yfx关于y=x对称；y=f(|x|)可由y=f(x)：先做y=f(x)在x轴右边的图象，再把它对称到左边（右边保留）得来；y=f(x)可由y=|f(x)|：先做y=f(x的图象，再将其x轴下方部分翻折到上方（下方不要）得来；（3）伸缩变换y=Af(x)(A0)的图象可由y=f(x)横坐标标不变，纵坐标变为原来的A倍得来；y=f(Ax)(A0)的图象可由y=f(x)横坐标变为原来的1A倍得来；15、二次函数（1）一元二次函数的解析式的形式：（Ⅰ）一般式，即y=ax2+bx+c（Ⅱ）顶点式，即y=a(x-h)2+k解决二次函数的基本思路（六个字）配方、画图、观察，观察指“四看”，即（a）看开口方向（b）看判别式的正负（c）看对称轴的位置（d）看特殊点（区间的端点）的函数值的正负(2)、对二次函数的讨论，一般可先考虑图象的开口方向（即二次项系数a的正负），再研究其图象与X轴的交点个数（即判别式Δ的正负），最后考虑对称轴的位置。16、指对数函数4（1）根式na（一般的，如果nxa，那么x叫做a的n次方根，其中*1,nnN且.）（2）、nna的讨论nnnaa当是奇数时，；,0,0nnaanaaaa当是偶数时，（3）分数指数幂**(0,,,1)1(0,,,1)mnmnmnmnaaamnNnaaamnNna正分数指数幂的意义且当为正数时，负分数指数幂的意义且（4）有理指数幂运算性质①(0,,)rsrsaaaarsQ②()(0,,)rsrsaaarsQ③()(0,0,)rrrabababrQ（5）对数运算公式：（1）对数定义式logbaaNNb（5）幂的对数loglogmnaanbbm（2）对数恒等式logaNaN（6）换底公式loglglogloglgcacbbbaa（3）积的对数log()loglogaaaMNMN（7）底数的对数log1aa（4）商的对数logloglogaaaMMNN（8）1的对数log10a5训练题：一、函数，映射：1、下列函数中，与xy相等的函数是（D）A．2xyB.1)1(2xyC.xxy2D.0,0,00,22xxxxxxx2、设函数)0(,1)0(,211)(xxxxxf若aaf)(，则实数a的值是321或3、函数)0()0(12)(21xxxxfx，若001)(xxf则的取值范围是01x或01x。二、求函数的定义域4、函数0)4(22xyx的定义域为（D）A．{0xx}B.{40xxx且}C．{1xx}D.{41xxx且}5、求函数)12ln(22xxxy的定义域（1,21）]2,1(6、函数)(xf的定义域是[0，2]，则函数)2(xf的定义域为（C）A.[0,2]B.[2,4]C.[-2,0]D.无法确定7、已知)23(xfy的定义域为[0，2]，则)(xf的定义域是（D）A.]0,32[B.[0,2]C.[0,4]D.[2，8]8、)12(xfy的定义域是[0，1)，则)31(xf的定义域是（D）A.]4,2(B.]21,2(C.]61,0(D.]32,0(三、求函数的解析式9、已知一次函数)(xf满足34)]([xxff，求)(xf（答案1-2xf(x)32)(或xxf）10、已知26)1(2xxxf，求)(xf（答案34)(2xxxf）11、已知xxflg)12(，则)(xf=12lgx四、求函数的值域12、求下列函数的值域（1）xxy22（]3,0[x）（答案：]1,3[）6（2）312xxy（答案：),2()2,(）（3）xxy14（答案：]5,(）（4）xx4（答案：),4[]4,(）13、若1)1(21)(2xxf的定义域和值域是[1，b](b0),则b的值是3五、求函数的单调性14、已知函数12)(22aaxxxf在)1,(上是减函数，求a的取值范围（答案：1a）15、函数232xxy的单调递减区间为（D）A．),0[B.]0,(C.),23[D.]23,(16、函数54)(2mxxxf在区间),2[x时是增减数，当]2,(x时是减函数，则)1(f值为（D）A．-7B.1C.17D.2517、已知函数542mxxy在区间),2[上是增函数，则m的范围是]16,(18、若)(xf为R上的增函数，则满足)()2(2mfmf的实数m的取值范围是-2m1或m19、函数11xy在]3,2[上的最小值为（B）A．2B.41C.31D.2120、求函数2322xxy的单调区间（答案：增区间为：]23,(，减区间为：),23[）21、函数)86(log221xxy的单调递减区间是（C）A.)2,(B.)3,(C.),4(D.),3(22、函数2246xxy的单调递减区间是[-1，1]六、求函数的反函数23、．求下列函数的反函数（1）12xy（答案：)(21Rxxy）（2）)21(123xxxy（答案：)21(123xxxy）（3）)1(2xxy（答案：)1()2(2xxy）24、若2)1()(xxf1x，则41f的值为（C）A．9B.-1C.3D.1725、已知函数)1(12)(2xxxf，函数)(xgy的图象与)(xfy的图象关于直线xy对称，求)32(g（答案：2)32(g）26、已知函数)0()(kbkxxf的图象过点（1，2），它的反函数)(1xf的图象过（4，0）,则)(xf（D）A．2x+4B.4x-2C.2x-4D.-2x+427、已知函数axy31和3bxy互为反函数，求ba,值分别是3,1ba28．函数12xey的反函数是（A）A．1ln21xy（1x）B．1ln21xy（1x）C．1ln21xy（0x）D．1ln21xy（0x）29．已知函数)(xfy的反函数)1(log2)(1xxfa,0(a且)1a，则函数)(xfy的图象必过定点（A）A．)0,2(B.)0,2(C.)2,0(D.)2,0(30．已知函数1()2xfx的反函数为111(),()()4,yfxfafbab若则4.31、函数)(xy的反函数)(1xfy的图象过点0,1，则)13(xf的图象必过点（C）A．)1,3(B.)31,1(C.)1,31(D.)1,0(七、函数的奇偶性和周期性32.若axfx121)(是奇函数，则a=21.33．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(B)A．y＝－log2x(x0)B．y＝x3＋x(x∈R)C．y＝3x(x∈R)D．y＝－1x(x∈R，x≠0)34、设)(xy是定义在R上的奇函数，且当0x时，32)(xxf，则)2(f的值等于（A）A．-1B．411C．1D．41135、若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2