二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)

【例1】.如图，点40M，，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点AB，．已知抛物216yxbxc过点A和B，与y轴交于点C．⑴求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵点8Qm，在抛物线216yxbxc上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB最小值．⑶CE是过点C的M⊙的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2yaxbxc与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式2yx并且线段CM的长为22（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1，0）、B（X2，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。MyxOEDCBA【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C，为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是C⊙的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)．⑴当1t时，得到1P、1Q两点，求经过A、1P、1Q三点的抛物线解析式及对称轴l；⑵当t为何值时，直线PQ与C⊙相切？并写出此时点P和点Q的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NPNQ最小，求出点N的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．lQ1P1yxQOPCBA【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数1ykx的图象与二次函数的图象交于AB，两点(A在B的左侧)，且A点坐标为44，．平行于x轴的直线l过01，点．⑴求一次函数与二次函数的解析式；⑵判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；⑶把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位0t，二次函数的图象与x轴交于MN，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过FMN，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为50，，顶点D在⊙O上运动．⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；lyxO⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．图1xyODABC15【巩固】如图，已知点A从10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以OA，为顶点作菱形OABC，使点BC，在第一象限内，且60AOC；以03P，为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：⑴点C的坐标（用含t的代数式表示）；⑵当点A在运动过程中，所有使P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．PCBOAyx1【例4】已知：如图，抛物线212333yxxm与x轴交于AB，两点，与y轴交于C点，90ACB⑴求m的值及抛物线顶点坐标；⑵过ABC，，的三点的M⊙交y轴于另一点D，连结DM并延长交M⊙于点E，过E点的M⊙的切线分别交x轴、y轴于点FG，，求直线FG的解析式；⑶在条件⑵下，设P为CBD上的动点(P不与CD，重合)，连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AHAPk，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．EyxOGFMDCBA【巩固】如图，已知点A的坐标是10，，点B的坐标是90，，以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEAyxBOO'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点00O，，20A，，点B在第一象限且OAB为正三角形，OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求BC，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设EF，分别是线段ABAD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF的最大面积？xyCDOAB参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业