控制工程基础习题及答案精解

天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课1习题集第二章物理系统的数学模型及传递函数1．求图2-1所示矩形脉冲的象函数【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为tTTtAtf00)(所以，)(tf可以看作两个函数的叠加)(1)(1)(TtAtAtf即可求得其象函数)1()]([)]([)]([21sTesAtfLtfLtfL或直接运用拉氏变换定义式求取)1()()(000sTTstTststesAsedAdtAedtetftfL2．求1324)(2ssssF的拉氏反变换。【解】)(sF的部分分式为112)1)(12(41324)(212sksksssssssF求系数1k、2k3)1()1)(12(47)12()1)(12(412211sssssskssssktteessLsFLtf35.313127)()(5.0113．求下面象函数的原函数)1(1)(2sssssF【解】)(sF的部分分式为)1()()1(1)1(1)(2322123212ssssksksskssksksksssssF由等式相等，所以可知skskssks)()1(13221解得)(tf图2-1天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课211k；12k；03k)(sF的部分分式可求得22222866.0)5.0(866.0578.0866.0)5.0(5.0111)(sssssssssF注：866.0578.05.0则)(sF的拉氏反变换为tetesFLtftt866.0sin578.0866.0cos1)()(5.05.014．求下列象函数的拉氏反变换。)3()2(1)(3ssssF【解】运用部分分式展开法，有3)2()2()2()(3213212311sksksksksksF求得待定系数31)2(1)3)((241)3()2(1)(83)3(1dd21)2)((dd!2141)3()32()3(1dd)2)((dd21)3(1)2)((333303022222322132222231222311sssssssssssssssFkssssFksssssFskssssssssFskssssFk－)(sF的部分分式为33/124/1)2(8/3)2(4/1)2(2/1)(23ssssssF分别查表可求得)(sF的拉氏反变换为24131)211(4131241834141)()(322322221tttttteetteeteetsFLtf5．解方程6)(6)(5)(tytyty，其中，2)0(,2)0(yy【解】将方程两边取拉氏变换，得ssYyssYysysYs6)(6)0()(5)0()0()(2将2)0(,2)0(yy代入，并整理，得34251)3)(2(6122)(2sssssssssY天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课3所以tteety32451)(6．将非线性方程2221xxxxy在原点附近线性化。【解】根据式（2-3），线性化后的方程应为Axxyxxyxxyy000而2)22(00xxxy＝210xy，10xy，0A故线性化后的方程为xxxy212分析：本题方程中只有2x是非线性项，只要将2x在原点线性化就可以了。2x在原点线性化的结果是0)2(002xxxxxx所以，线性化后原方程式右边只剩下前三项线性项。7．求图2-2所示系统输入为iu，输出为ou时的传递函数)()(sUsUiouiuoR1R2CuiuoR1R2C（a）（b）图2-2无源电网络【解】根据基尔霍夫定律，采用运算阻抗的方法，所以传递函数为（a）1)(111)()(212212CsRRCsRCsRRCsRsUsUio（b）2121221112211)()(RRCsRRRCsRRCsRCsRRRsUsUio天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课4【提示】基尔霍夫定律的时域表示式为：对任一结点，0)(ti；对任一回路，0)(tu。电阻R的运算阻抗就是电阻R本身，电感L的运算阻抗是Ls，电容C的运算阻抗是Cs1，其中s为拉氏变换的复参量。把普通电路中的电阻R、电感L、电容C全换成相应的运算阻抗，把电流)(ti和电压)(tu全换成相应的拉氏变换式)(sI和)(sU，因此可得到根据拉氏变换的线性性质而得出基尔霍夫定律的运算形式为：0)(sI；对任一回路，0)(sU。于是我们可以采用普通的电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律和电压定律，经过简单的代数运算，就可求解)(sI、)(sU及相应的传递函数。采用运算阻抗的方法又称为运算法，相应的电路图称为运算电路。8．求图2-3所示有源电网络的传递函数，图中)(1tu、)(2tu分别是输入和输出电压。)(1tu)(2tu1R2R1C2C)(1tu)(2tu1R3R2R1C2C)(3tu（a）（b）图2-3有源电网络【解】（a）由图（1）求得，根据理想运算放大器反相输入时的特性，有sCRsCRCCRRsCRsCRsCRsUsU12212112111122121111)()(这也是PID控制器。（b）设电压)(3tu如图所示。由0)()(1)(1)(32323123RsUsUsCsUsCRsU得)(11)(32312132sUsCRsCRsCRsU得01)()(12311sCRsURsU由此可得)(1)(312111sUsCRsCRsU天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课5最后联立上述方程，解得sCRsRCRRCRCRCRCRsUsU11123211132312121)()(这是PID控制器。提示：上述传递函数是在理想运算放大器及理想的电阻、电容基础上推导出来的，对于实际元件来说，它只是在一定的限制条件下才成立。9．试求图2-4所示机械平动系统输入为x，输出为y时的传递函数)()(sXsYm1kxyf2kBx1k2k（a）（b）图2-4机械平动系统【解】（a）根据牛顿第二定律，列写动力学微分方程tdydmykyxkdtyxdf2221)()(即0)()(1222yxkdtyxdfyktdydm进行拉氏变换并整理)()()()(1212sXkfssYkkfsms得2121)()(kkfsmskfssXsY（b）设B点位移为Bx，根据B、C点力平衡关系列写方程对于B点dtyxdfxxkBB)()(1对于C点ykdtyxdfB2)(上面两个方程两边同时进行拉氏变换（初始条件为0），有)()()()(1sYsXsfsXsXkBB)()()(2sYksYsXsfB解上述方程组，得天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课6)()()(21211kkfskkfsksXsY【提示】机械系统的建模可根据牛顿第二定律或达朗伯原理推导。牛顿第二定律：一物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向。达朗伯原理：作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系。达朗伯原理用公式可表示为：0iFxm，其中，iF是作用在物体上的合外力；x是物体的加速度；m是物体的质量；xm是物体的惯性力。对于机械系统的建模，取质量、弹簧、阻尼之间相关的连接点进行受力分析，并根据牛顿第二定律建立该点处的力平衡方程；当有些连接点处的运动未知时，可认为是中间参考点，联立方程后即可消去。10．齿轮传动的动力学分析。设有如图2-5a所示的齿轮传动链，由电动机M输入的扭矩为mT，L为输出端负载，TL为负载扭矩。图中所示的iz为各齿轮齿数，J1、J2、J3及1、2、3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。mT1J1z11T2T2z2J23z4z3T4T3J3LTmTeqJeqfLeqTeqL(a)原始轮系(b)等效轮系图2-5齿轮传动链【解】假设各轴均为绝对刚性，即JK，可得如下动力学方程LmTfJTTfJTTfJT3333432222211111式中1f、2f、3f传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；1T——齿轮1z对mT的反转矩；2T——2z对1T的反转矩；3T——3z对2T的反转矩；4T——4z对3T的反转矩；LT——输出端负载对4T的反转矩，即负载转矩。由齿轮传动的基本关系可知143212433334412121122,,zzzzzzTzzTzzTzzT天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课7于是可得LmTfJzzfJzzfJT2333432222211111LTzzzzfzzzzfzzfJzzzzJzzJ432113243212221113243212221132432122211JzzzzJzzJJeq称为等效转动惯量；32432122211fzzzzfzzffeq称为等效阻尼系数；LLeqTzzzzT4321称为等效输出转矩。将上式改为LeqeqeqmTBJT11则图2-6a所示的传动装置可简化为图2-6b所示的等效齿轮传动。11．画出下列RC电路的方框图。RiiuouC图2-6一阶RC网络【解】利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得Ruuioi，cidtuo对其进行拉氏变换得RsUsUsIoi)()()(sCsIsUo)()(因此图2-6即可转换为图2-7算电路形式。R)(sUisC1)(sI)(sUo图2-7一阶RC网络运算电路天津工程师范学院《机械控制工程基础》院级精品课8由此分别得到图2-9a和2-9b，将图2-9a和2-9b组合起来即得到图2-9c，图2-9c为该一阶RC网络的方框图。)(sUi)(sUoR1)(sI)(sI)(sUosC1)(sUiR1)(sI)(sUosC1)(sUo（a）（b）（c）图2-8一阶RC网络的方框图12．画出下列RC网络的方框图，并求传递函数。图2-9两级RC滤波器电路【解】（1）首先根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接将上图转化成运算电路图的形式，如下图1R2R)(sUc21sC11sC)(1sI)(2sI)(1sUc)(sUr图2-10两级RC滤波器电路（2）根据列出的4个式子作出对应的框图。222212111)()()()()()()()()()()(111sCsIsURsUsUsIsCsIsIsURsUsUsIccCCCr（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。根据上述公式，画出方框图)(sUr11R)(1sI)(1sUC11sC)(sUc)(2sI21sC)(sUc)(1sU