中考二次函数压轴题解题通法

二次函数常见题型及解题策略中考二次函数压轴题———解题通法研究•二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。两点间的距离公式22BABAxxyyAB中点坐标•线段的中点的坐标为：22BABAyyxx，一元二次方程有整数根问题解题步骤如下：①用和参数的其他要求确定参数的取值范围②解方程，求出方程的根③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。二次函数与轴的交点为整数点问题•解题步骤如下：①用和参数的其他要求确定参数的取值范围•②解方程，求出方程的根③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。方程总有固定根问题•可以通过解方程的方法求出该固定根已知关于的方程（为实数），求证：无论为何值，方程总有一个固定的根。23(1)230mxmxm解：当0m时，1x当0m时，032m，mmx213，mx321、12x综上所述无论:m为何值，方程总有一个固定的根是1。函数过固定点问题举例如下：已知抛物线22mmxxy（是常数），求证：不论为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。m解：把原解析式变形为关于的方程mxmxy122∴01022xxy解得：11xy∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。（题目要求:关于的方程不论为何值,方程恒成立）小结：关于x的方程bax有无数解00ba路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线,点在上，分别在、上确定两点、，使得之和最小。1l2lA2l1l2lMNMNAM路径最值问题路径最值问题在平面直角坐标系中求面积的方法•直接用公式、割补法函数的交点问题函数的交点问题方程法•（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度•（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量•（3）列方程或关系式几何分析法•特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何分析法几个自定义概念1.求证“两线段相等”的问题２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题5.常数问题6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题8.三角形面积的最大值问题三角形面积的最大值问题9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。10、“定四边形面积的求解”问题•有两种常见解决的方案：•方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；•方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）11.“两个三角形相似”的问题•两个定三角形是否相似：•已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。•不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。•一个定三角形和动三角形相似：•已知有一个角相等的情形：•先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。“两个三角形相似”的问题•不知道是否有一个角相等的情形：•这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。１2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题•首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。１3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题•这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。１3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题•进一步有：•若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。•若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。•若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。１4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题•先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。１5、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题１6、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题１7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题•题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长”的问题•（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，本类型实际上是前面14的特殊情形。）•先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或ｙ轴上，或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割），列出面积方程”。19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题•此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。•如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。如果动图形是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。常用公式或结论（5）中点坐标公式（7）两直线平行的结论（9）由特殊数据得到或猜想的结论